Вероятностные методы являются одним из основных направлений исследований в комбинаторике. На множестве объектов комбинаторики вводится вероятностное распределение. При этом числовые характеристики этих
объектов (число объектов заданного объема, максимальный размер объекта, минимальный размер объекта) становятся случайными величинами.
Это позволяет использовать развитый аппарат предельных теорем этих
числовых характеристик.
В.Ф. Колчин ввел понятие обобщенной схемы размещения n частиц по
N ячейкам. Он показал, что многие схемы вероятностной комбинаторики (случайные размещения различимых частиц, случайные размещения
неразличимых частиц, урновые схемы, случайные леса, случайные перестановки, случайные отображения). В многочисленных работах были доказаны предельные теоремы для число ячеек заданного объема, максимального
размера ячейки, минимального размера ячейки в обобщенной схеме размещения и некоторых ее частных случаях.
И. Фазекаш и А.Н. Чупрунов ввели аналог обобщенной схемы размещения n частиц по N ячейкам ячейкам - обобщенную схему размещения не
более n частиц по N ячейкам. Ими для обобщенной схему размещения не
более n частиц по N ячейкам получены слабые и усиленные законы больших чисел для числа ячеек заданного объема, локальные предельные теоремы для числа ячеек заданного объема, причем подробно рассмотрен случай гауссовской и случай нормальной аппроксимации, предельные теоремы
для максимального объема ячейки, причем особое внимание уделено аналогу теоремы Эрдеша - сходимости случайной величины, максима3льного
3Оглавление
объема ячейки, к распределению, сосредоточенному в двух точках.
Во всех этих работах рассматриваются равновероятные схемы размещения n частиц по N ячейкам и равновероятные схемы размещения не
более n частиц по N ячейкам, причем в качестве множества ячеек рассматривается все множество ячеек. Работа посвящена обобщению некоторых
результатов из этих работ на случай, когда ячейки принадлежат некоторому подмножеству ячеек. Заметим, что если это подмножество состоит из
K ячеек, то, в силу однородности схемы размещения, распределения случайных величин, определенных этим подмножеством совпадает с распределением случайных величин, определенных подмножеством, состоящим из
первых K ячеек.
Вторая глава диссертации посвящена локальным предельным теоремам
для числа ячеек заданного объема из отмеченного множества ячеек. Результаты главы основаны на аналоге формулы Колчина, полученной в первом параграфе. Во втором параграфе получены аналоги теоремы Муавра Лапласа в некоторых схемах размещения частиц по ячейкам с ограничениями на количество частиц. В третьем параграфе получена пуассоновская
предельная теорема для схемы размещения различимых частиц по различным ячейкам
Третья глава диссертации посвящена изучению случайной величины -
максимального объема ячейки из отмеченного множества ячеек в схеме размещения различимых частиц по различным ячейкам. В первом параграфе
доказывается аналог формулы Колчина для функции распределения максимального объема ячейки из отмеченного множества ячеек. И в котором
параграфе эта формула используется для сходимости случайной величины
- максимального объема ячейки из отмеченного множества ячеек, к распределению, сосредоточенному в двух точках. Во второй главе рассматриваются неоднородные аналоги схем размещения не более n частиц
по N ячейкам.
Результаты магистерской диссертации доложены на международной конференции "Алгебра и анализ" в 2016 году и на Итоговой научной студенческой научной конференции в 2017 году. Три статьи с результатами
диссертации поданы в "Известия вузов. Математика".
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
