Введение 4
1 Геодезические линии на поверхностях Лиувилля 6
1.1 Определение геодезических линий. Эйлеров вектор 6
1.2 Уравнение геодезических линий на поверхностях Лиувилля 7
1.3 Геодезические линии на поверхностях вращения 10
1.3.1 Поверхность вращения и её метрическая форма 10
1.3.2 Приведение метрической формы поверхности вращения
к изотермическому виду 13
1.3.3 Уравнение геодезических линий на поверхностях вращения 15
1.4 Геодезические линии на центральных поверхностях второго порядка 16
1.4.1 Эллиптические координаты в пространстве 16
1.4.2 Эллиптические координаты на центральной поверхности 2-го порядка 20
1.4.3 Метрическая форма центральной поверхности 2-го порядка в эллиптических координатах 23
1.4.4 Метрическая форма центральной поверхности 2-го порядка в лиувиллевых координатах 26
1.4.5 Уравнения геодезических линий на центральных поверхностях второго порядка 26
2 Визуализация геодезических линий 31
2.1 Визуализация геодезических линий на поверхностях вращения 31
2.2 Локальная визуализация геодезических линий на любых параметрически заданных поверхностях 36
2.2.1 Система дифференциальных уравнений для определения геодезической линии 36
2.2.2 Реализация алгоритма для моделирования и визуализации геодезических линий в среде Mathematica 37
Заключение 44
Литература 45
Эта работа посвящена изучению геодезических линий на поверхностях Лиувилля, в частности — изучению геодезических линий на поверхностях вращения и на центральных поверхностях второго порядка.
Тематика работы частично входит в программу нормативного курса геометрии педагогического вуза, но изучение этих вопросов происходит в обзорном порядке или вообще бывает отнесено к самостоятельной работе. Поэтому изучение геодезических линий на поверхностях является весьма актуальным.
Целью работы является изучение вопроса возможности моделирования и визуализации геодезических линий на поверхностях вращения и на центральных поверхностях второго порядка с помощью компьютерной математической системы Mathematica.
Задачи работы:
1. На основе изучения литературы по теме составить компактное изложение теории геодезических линий на поверхностях Лиувилля, а также методов составления конечных уравнений геодезических линий на примере центральных поверхностей второго порядка и поверхностей вращения.
2. Описать (или составить новые) алгоритмы нахождения конечных уравнений геодезических линий и предложить способы их визуализации. Адаптировать описанные алгоритмы к реализации в компьютерной математической среде.
3. Реализовать предложенные способы визуализации геодезических линий
в среде компьютерной математической системы Mathematica.
Объект исследования: геодезические линии на поверхностях Лиувилля.
Предмет исследования: геодезические линии на поверхностях вращения и на центральных поверхностях второго порядка (эллипсоиде и гиперболоидах) и способы их визуализации.
Научный аппарат исследования: аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, компьютерная геометрия.
Научная новизна исследования состоит в том, что проанализирована задача визуализации геодезических линий на центральных поверхностях в среде Mathematica и доказано, что в большинстве случаев она разрешима лишь локально и в приближённом виде. Доказано также, что задача конструирования и визуализации геодезических линий на поверхностях вращения в среде Mathematica разрешима в точном виде.
Практическая значимость заключается в возможности использования материалов этой работы на занятиях по дифференциальной геометрии в вузе, а также в процессе самостоятельной работы студентов.
Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, содержит 8 рисунков и изложена на 47 страницах.
В работе были подробно изучены геодезические линии на поверхностях Лиувилля, в частности — на поверхностях вращения и на центральных поверхностях второго порядка, и способы их визуализации.
В первой главе рассмотрен метод получения конечного уравнения геодезических линий на поверхностях Лиувилля. Рассмотрен метод получения конечного уравнения геодезических линий на поверхностях вращения, при этом подробно расписана суть метода и выведены соответствующие формулы и конечные уравнения. Также мы рассматриваем метод получения конечного уравнения геодезических линий в эллиптических координатах на центральных поверхностях второго порядка, при этом подробно изложена суть метода и выведены формулы для трёхосного эллипсоида, а также дополнительно для однополостного и двуполостного гиперболоидов.
Во второй главе решена задача о визуализации геодезических линий на поверхностях вращения в точном виде. Решена задача о локальной визуализации геодезических линий на любых поверхностях. А именно, описан общий алгоритм составления системы дифференциальных уравнений для определения геодезической линии на любой гладкой поверхности. Описан способ реализации алгоритмов моделирования и визуализации геодезических линий в компьютерной математической системе Mathematica.
При решении многих задач инженерной практики и фундаментальных наук создание математической модели процесса или объекта сводится к построению сетей специальных линий, принадлежащих криволинейным поверхностям объектов. Семейства геодезических линий занимают среди них достойное место и имеют большое прикладное и теоретическое значение.
