С О Д Е Р Ж А Н И Е
Введение 3
Глава 1. Основные теоремы внутренней геометрии поверхности 6
§ 1. Изометричные поверхности 6
§ 2. Деривационные формулы 10
§ 3. Теорема Гаусса 13
Глава 2. Геодезические линии 16
§ 4. Геодезическая кривизна кривой на поверхности 16
§ 5. Геодезические линии 22
§ 6. Полугеодезическая параметризация поверхности 25
§ 7. Кратчайшие линии 30
§ 8. Теорема Гаусса-Бонне 31
§ 9. Поверхности постоянной кривизны 34
Заключение 38
Список литературы 39

Купить

В В Е Д Е Н И Е.
С внутренней геометрией одной из поверхностей все хорошо знакомы: это планиметрия, то есть геометрия на плоскости. Занимаясь ею, рассматривают плоскость саму по себе, отвлекаясь от окружающего пространства. Точно так же можно изучать геометрию на любой поверхности. [7]
Под внутренней геометрией поверхности понимают раздел геометрии, в котором изучают свойства поверхности и фигур на ней без выхода в трехмерное пространство.
По отношению к гладким поверхностям можно сказать, что их внутренняя геометрия изучает свойства поверхностей и фигур на них, определяемые первой квадратичной формой. Это будет доказано ниже.
К объектам внутренней геометрии относятся, например, длины кривых на поверхности, углы между кривыми, площади областей, полная кривизна поверхности.
В данной работе будут рассматриваться такие понятия для поверхностей, которые связаны только с ее первой квадратичной формой, и, таким образом, принадлежащие внутренней геометрии поверхности.[8]
Моя работа состоит из двух глав. Первая глава посвящена основным теоремам внутренней геометрии. В этой главе рассматриваются изометричные поверхности, деривационные формулы и теорема Гаусса. «Геодезические линии» – название второй главы моей дипломной работы. Здесь представлено изложение вопросов, посвященных геодезической кривизне кривой на поверхности, геодезическим линиям, полугеодезической параметризации поверхности, рассматривается теорема Гаусса-Бонне, кратчайшие линии и поверхности постоянной кривизны. Также работа содержит следующие обозначения частных производных по u векторных функций и :
, , , . Аналогично записываются частные производные по v. В дипломной работе содержатся подобные обозначения для частных производных первой и второй квадратичной форм.
Рассмотрение вопросов внутренней геометрии поверхности основывается на таких понятиях теории поверхности, как первая и вторая квадратичные формы поверхности, полная кривизна поверхности, а так же на вычислении длин дуг кривых, углов между кривыми.
Пусть Ф – гладкая поверхность, заданная векторной функцией .
Первой квадратичной формой поверхности Ф называется квадрат полного дифференциала векторной функции . Поскольку
,
то первая квадратичная форма имеет вид:

или

где [7]
Для вычисления длины дуги кривой γ на поверхности Ф достаточно знать первую квадратичную форму поверхности и внутренние уравнения , , дуги АВ кривой γ (значение t=a соответствует точке А, t=b – точке В).
Если векторная функция задает поверхность Ф, то векторная функция задает дугу АВ в пространстве (a ≤ t ≤ b). Тогда длина дуги вычисляется по формуле:

= .[9]
Пусть γ1 и γ2 – две гладкие линии на поверхности Ф, проходящие через точку М. Углом между линиями γ1 и γ2 называется угол между касательными к этим кривым в их общей точке М.
Если и – векторы касательных к кривым γ1 и γ2 в точке М, то угол φ между кривыми γ1 и γ2 можно вычислить как угол между
. [1]
Пусть Ф – гладкая поверхность, заданная векторной функцией . Второй квадратичной формой поверхности Ф называется скалярное произведение


Купить