Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


Внутренняя геометрия поверхности.

Работа №3873
Тип работыДипломные работы
Предметматематика
Объем работы39 стр.
Год сдачи2004
Стоимость5900 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 354
Не подходит работа?

Узнай цену на написание
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Введение 3
Глава 1. Основные теоремы внутренней геометрии поверхности 6
§ 1. Изометричные поверхности 6
§ 2. Деривационные формулы 10
§ 3. Теорема Гаусса 13
Глава 2. Геодезические линии 16
§ 4. Геодезическая кривизна кривой на поверхности 16
§ 5. Геодезические линии 22
§ 6. Полугеодезическая параметризация поверхности 25
§ 7. Кратчайшие линии 30
§ 8. Теорема Гаусса-Бонне 31
§ 9. Поверхности постоянной кривизны 34
Заключение 38
Список литературы 39
В В Е Д Е Н И Е.
С внутренней геометрией одной из поверхностей все хорошо знакомы: это планиметрия, то есть геометрия на плоскости. Занимаясь ею, рассматривают плоскость саму по себе, отвлекаясь от окружающего пространства. Точно так же можно изучать геометрию на любой поверхности. [7]
Под внутренней геометрией поверхности понимают раздел геометрии, в котором изучают свойства поверхности и фигур на ней без выхода в трехмерное пространство.
По отношению к гладким поверхностям можно сказать, что их внутренняя геометрия изучает свойства поверхностей и фигур на них, определяемые первой квадратичной формой. Это будет доказано ниже.
К объектам внутренней геометрии относятся, например, длины кривых на поверхности, углы между кривыми, площади областей, полная кривизна поверхности.
В данной работе будут рассматриваться такие понятия для поверхностей, которые связаны только с ее первой квадратичной формой, и, таким образом, принадлежащие внутренней геометрии поверхности.[8]
Моя работа состоит из двух глав. Первая глава посвящена основным теоремам внутренней геометрии. В этой главе рассматриваются изометричные поверхности, деривационные формулы и теорема Гаусса. «Геодезические линии» – название второй главы моей дипломной работы. Здесь представлено изложение вопросов, посвященных геодезической кривизне кривой на поверхности, геодезическим линиям, полугеодезической параметризации поверхности, рассматривается теорема Гаусса-Бонне, кратчайшие линии и поверхности постоянной кривизны. Также работа содержит следующие обозначения частных производных по u векторных функций и :
, , , . Аналогично записываются частные производные по v. В дипломной работе содержатся подобные обозначения для частных производных первой и второй квадратичной форм.
Рассмотрение вопросов внутренней геометрии поверхности основывается на таких понятиях теории поверхности, как первая и вторая квадратичные формы поверхности, полная кривизна поверхности, а так же на вычислении длин дуг кривых, углов между кривыми.
Пусть Ф – гладкая поверхность, заданная векторной функцией .
Первой квадратичной формой поверхности Ф называется квадрат полного дифференциала векторной функции . Поскольку
,
то первая квадратичная форма имеет вид:

или

где [7]
Для вычисления длины дуги кривой γ на поверхности Ф достаточно знать первую квадратичную форму поверхности и внутренние уравнения , , дуги АВ кривой γ (значение t=a соответствует точке А, t=b – точке В).
Если векторная функция задает поверхность Ф, то векторная функция задает дугу АВ в пространстве (a ≤ t ≤ b). Тогда длина дуги вычисляется по формуле:

= .[9]
Пусть γ1 и γ2 – две гладкие линии на поверхности Ф, проходящие через точку М. Углом между линиями γ1 и γ2 называется угол между касательными к этим кривым в их общей точке М.
Если и – векторы касательных к кривым γ1 и γ2 в точке М, то угол φ между кривыми γ1 и γ2 можно вычислить как угол между
. [1]
Пусть Ф – гладкая поверхность, заданная векторной функцией . Второй квадратичной формой поверхности Ф называется скалярное произведение

З А К Л Ю Ч Е Н И Е
Дипломная работа посвящена изучению внутренней геометрии поверхности.
Под внутренней геометрией поверхности понимают раздел геометрии, в котором изучаются свойства поверхностей и различных фигур на них без выхода в трехмерное пространство.
В этой работе рассматривается внутренняя геометрия гладких поверхностей. Она изучает свойства поверхностей и фигур на них, определяемые первой квадратичной формой. Подробное доказательство этого факта приведено во второй главе «Геодезические линии». В первой же главе рассматриваются основные теоремы внутренней геометрии поверхности. Их результаты широко используются при доказательстве теорем, следствий, свойств геодезических линий и понятий, с ними связанных. Особое значение имеет теорема Гаусса-Бонне. Следствия из этой теоремы подтверждают хорошо известные по курсу элементарной геометрии теоремы о сумме внешних углов многоугольника и о сумме внутренних углов треугольника. Задачи, представленные в работе, показывают применение наиболее важных утверждений внутренней геометрии поверхности на практике. Это теорема Гаусса, теорема Гаусса-Бонне, формула для нахождения геодезической кривизны кривой на поверхности, свойства геодезических линий.
Следует также отметить одно важное обстоятельство. Полная кривизна плоскости равна нулю в каждой ее точке. Поэтому ни одна поверхность, полная кривизна которой отлична от нуля, не может по теореме Гаусса оказаться изометричной плоскостью. Вследствие этого ее нельзя изобразить на плоскости вполне точно, с сохранением величины всех длин, углов и тому подобное. Это заключение относиться и к поверхности Земли. Отсюда естественно возникает задача изображения на карте частей земной поверхности с возможно меньшими искажениями. Указанная задача, имеющая исключительно важное практическое значение, решается специальной наукой – картографией. [2]
Внутренняя геометрия гладких поверхностей применяется и в астрономии.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия.: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. В 2ч. Ч.2. – М.: Просвещение, 1987.
2. Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия.: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. В 2ч. Ч.2. – М.: Просвещение, 1976.
3. Атанасян Л.С., Цаленко М.М. Задачник-практикум по геометрии.: Учебное пособие для студентов-заочников. – М.: Просвещение, 1994.
4. Базылев В.Т. Сборник задач по геометрии.: Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1980.
5. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия.: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. В 2ч. Ч.2. – М.: Просвещение, 1975.
6. Бакельман И.Я. Высшая геометрия.: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просве-щение, 1967.
7. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.2.: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов.– СПб.: «Специальная Литература», 1997.
8. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия.: Учебник для студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов.– М.: Наука, 1969.
9. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука. Главная редакция физико-математи-ческой литературы, 1983.

Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.

Пожалуйста, укажите откуда вы узнали о сайте!
Обновить рисунок

© 2008-2018 Сервис продажи готовых курсовых работ, дипломных проектов, рефератов, контрольных и прочих студенческих работ.