Подводя итоги этой дипломной работы, мы ещё раз спросим себя: что же изучает внутренняя геометрия поверхности?
Внутренняя геометрия поверхности - это раздел геометрии, изучающий только такие свойства поверхности и фигур на ней, которые могут быть получены лишь при помощи измерений на самой поверхности без обращения к объемлющему пространству. К внутренней геометрии гладкой поверхности относят такие свойства этой поверхности и фигур на ней, которые определяются только первой квадратичной формой (формула (4) §2 Главы 1).
Можно сказать, что задачи о вычислении длины дуги на поверхности, угла между линиями, площади поверхности относятся к внутренней геометрии поверхности. Угол между двумя кривыми на поверхности, исходящими из одной точки, определяется обычно как угол между касательными к этим кривым в этой точке (если эти касательные существуют). При этом касательная прямая к кривой (или, короче, касательная) определяется как предел секущих. Но касательные, вообще говоря, не лежат на поверхности и, значит, не относятся к её внутренней геометрии. Стало быть, величину угла надо определить во внутренней геометрии иначе.
Один из возможных способов таков. На плоскости угол можно измерить как отношение длины 1 дуги окружности, для которой данный угол центральный, к радиусу г этой окружности: это отношение не зависит от радиуса, так как длина дуги окружности пропорциональна радиусу. На произвольной поверхности это не так. Площадь фигур на поверхности также относится к внутренней геометрии поверхности, но определяется сложно.
Геодезические линии на поверхности являются аналогом прямых линий на плоскости. Геодезическая линия характеризуется тем свойством, что в каждой её точке соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности в этой точке. Так, большие окружности на сфере являются геодезическими линиями.
Две поверхности называются изометричными, если между точками этих поверхностей можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины. Если две поверхности изометричны, то про каждую из них говорят, что она получена изгибанием другой поверхности.
Другими словами, изгибание поверхности - это такая её деформация, при которой длины кривых на поверхности не изменяются.
Примерами изометричных поверхностей являются, например, плоскость и двугранный угол или многогранный угол и бесконечная коническая поверхность, у которых полные углы вокруг вершин равны. Легко представить себе непрерывные деформации - изгибание каждой из этих поверхностей в изометричную ей.
Реальные изгибания - это деформации тонких, но нерастягивающихся материалов, без разрывов и склеиваний, например листов бумаги или металла. Так, например, прямоугольник можно изогнуть в боковую поверхность цилиндра, а круговой сектор - в боковую поверхность конуса, считая, что они разрезаны по одной из образующих. Этот сектор и этот прямоугольник называют развёртками боковых поверхностей конуса и цилиндра соответственно.
Так, как изгибание не меняет расстояний на поверхности, то при изгибании поверхности её внутренняя геометрия не изменяется. Так, например, внутренняя геометрия двугранного уте — планиметрия.
Прочность сферических оболочек батискафов или выпуклых корпусов подводных лодок, даже просто скорлупы яиц - все это реальные примеры теоремы о неизгибаемости замкнутых выпуклых поверхностей.
Таким образом, рассмотренный в данной дипломной работе раздел геометрии, позволяет посмотреть по-новому на привычные вещи, помогает рассмотреть наше пространство, где мы живём, с новой точки зрения, предлагая, вообще говоря, оригинальный подход и методы для изучения различных поверхностей. Ведь именно на основе внутренней геометрии была создана многомерная риманова геометрия.


Купить