Тема: КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПО ГРАДИЕНТУ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ

При математическом описании многих процессов физики и техники возникают линейные и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Для нахождения приближенного решения таких задач наиболее эффективными являются метод конечных разностей и метод конечных элементов.
В данной магистерской работе рассматривается начально-краевая задача для нелинейного двумерного параболического уравнения с нелокальным по градиенту решения пространственным оператором. Уравнение с нелокальным пространственным оператором - сравнительно новый и мало исследованный класс уравнений математической физики. Наиболее мало исследованы уравнения, в которых присутствует нелокальность по градиенту решения. В работе [1] доказаны теоремы существования и единственности решения нелинейного параболического уравнения с нелокальным по градиенту решения пространственным оператором, получены условия корректности поставленной задачи.
Цель настоящей работы - построение конечно-разностных методов решения нелинейного двумерного параболического уравнения с нелокальным по градиенту решения пространственным оператором.
Работа состоит из 3 глав и приложения.
В первой главе дается постановка задачи и описывается процесс построения явной разностной схемы и неявной разностной схемы с опусканием нелинейности на нижний слой. Аппроксимация пространственного оператора проводится с помощью метода сумматорных тождеств.
Вторая глава посвящена построению модельных задач с известным точным решением.
В третьей главе приведены результаты численных экспериментов, проведённых для модельных задач с помощью построенных разностных схем.
В приложении представлены коды программ, реализованных среде MATLAB (см.[2]). MATLAB — это высокоуровневый язык и интерактивная среда для программирования, численных расчетов и визуализации результатов.
Купить

В результате выполнения работы было произведено исследование явной разностной схемы решения нелинейного параболического уравнения с нелокальным пространственным оператором и выяснено, что явная схема является условно устойчивой, то есть она устойчива только при определенном соотношении между hи т. Также была построена и исследована неявная разностная схема с опусканием нелинейности на нижний слой решения нелинейного параболического уравнения. Было выяснено и проверено экспериментально, что эта схема является условно устойчивой, то есть она устойчива только при определенном соотношении между h и т. Также экспериментально было установлено, что устойчивость явной и неявной разностной схемы зависит от функции а((), а именно, если решение такого, что со временем функция а(() возрастает, то условие устойчивости ужесточается, если убывает, то ослабляется.
Купить