Тема: СЕТОЧНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Задачи на собственные значения возникают при теоретическом исследовании и численном решении многих важных научно-технических задач. В настоящей работе рассматривается одномерная задача на собственные значения. Задачи подобного вида описывают собственные колебания одномерных механических систем и широко применяются при математическом моделировании в математической физике и механике конструкций. Постановка задачи на собственные значения сводится к нахождению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с однородными краевыми условиями Дирихле. Исходная дифференциальная задача приближается сеточными схемами метода конечных разностей и метода конечных элементов на равномерной сетке при различных способах вычисления возникающих интегралов. Целью работы является построить с помощью метода конечных элементов и метода конечных разностей приближённые сеточные схемы для приближённого решения исходной дифференциальной задачи, сформулировать эти сеточные схемы в матричной форме, вычислить собственные значения и собственные функции матричных задач на собственные значения, построить графики собственных функций для модельных задач, экспериментально вычислить и исследовать скорость сходимости различных вариантов сеточных аппроксимаций метода конечных элементов и метода конечных разностей.
В разделе 1 приведена математическая постановка дифференциальной задачи на собственные значения. Задача сводится к нахождению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями Дирихле. Здесь формулируются условия на коэффициенты задачи и излагаются свойства собственных значений и собственных функций. В разделе 2 приведены теоретические и практические результаты, касающиеся построения сеточной схемы метода конечных элементов для краевых задач, формирования системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов, исследования сходимости и погрешности приближенных решений. В разделе 3 даются формулировки сеточных схем метода конечных элементов для задач на собственные значения с постоянными и переменными коэффициентами, построены системы линейных алгебраических уравнений и записаны их матричные постановки. В разделе 4 излагается построение сеточной схемы метода конечных разностей для краевой задачи. Здесь применяется интегро-интерполяционный метод. Полученные сеточные схемы записаны в матричной форме. В разделе 5 дается описание формирования сеточных схем и матричных систем для задач на собственные значения с помощью метода конечных разностей. В разделе 6 формулируется модельная задача на собственные значения с известными точными решениями и описываются проведенные численные эксперименты. В заключении изложены полученные выводы. В приложении А и приложении Б находятся результаты проведенных расчетов и разработанная программа для численных экспериментов.
Прикладные дифференциальные задачи на собственные значения исследованы в книгах [1-4, 10]. Теоретические результаты о существовании собственных значений и собственных функций и их свойствах для дифференциальных задач на собственные значения приведены в книгах [1-4, 9, 10]. Сеточные методы решения дифференциальных краевых задач и дифференциальных задач на собственные значения изучены в книгах [4-8].

Купить

В настоящей работе исследуется одномерная дифференциальная задача на собственные значения. Задачи подобного вида описывают собственные колебания одномерных объектов и применяются при математическом моделировании в математической физике и механике. Постановка данной задачи приводит к вычислению собственных значений и собственных функций симметричного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с однородными краевыми условиями Дирихле. Исходная дифференциальная задача на собственные значения приближается по методу конечных разностей и методу конечных элементов на равномерной сетке при использовании точного и приближённого интегрирования. Целью данной работы является с помощью метода конечных элементов и метода конечных разностей построить приближённые сеточные схемы для решения исходной дифференциальной задачи, сформулировать сеточные схемы в матричном виде, вычислить собственные значения и собственные функции, построить графики собственных функций для модельных задач, экспериментально вычислить и исследовать скорость сходимости сеточных схем метода конечных элементов и метода конечных разностей при различных способах вычисления интегралов.
Приведём полученные выводы из экспериментов, результаты которых помещены на рисунках А.1-А.5 и в таблицах А.1-А.105.
В проведённых экспериментах для модельной задачи наблюдалось приближение к собственным значениям снизу для МКЭ3, МКР1, МКР2, МКР3, МКР4, МКР5, и сверху для МКЭ1, МКЭ2, МКЭ4, МКЭ5.
Экспериментально установлено, что существуют положительные постоянные ci и c2, не зависящие от шага сетки h и от величины собственного значения Xk, для которых выполняются оценки погрешности:
X - Xk < citi1Xi, ytk> - || < cohxf2,
при k = 1,2 ..., 9, h = 1/N, N = 100,200,300.
Купить