ВВЕДЕНИЕ 3
1 Постановка задачи 6
2 Метод конечных элементов для краевой задачи 8
2.1 Постановка краевой задачи 7
2.2 Формулировка схемы метода конечных элементов 12
2.3 Исследование погрешности 18
3 Аппроксимация задачи на собственные значения 20
3.1 Сеточная схема с постоянными коэффициентами 20
3.2 Уравнение с переменными коэффициентами 23
4 Метод конечных разностей для краевой задачи 26
4.1 Построение разностной схемы 26
4.2 Случай постоянных коэффициентов 30
4.3 Случай переменных коэффициентов 32
5 Конечно-разностная задача на собственные значения 34
5.1 Случай постоянных коэффициентов 34
5.2 Случай переменных коэффициентов 35
6 Численные эксперименты 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 42
ПРИЛОЖЕНИЕ

Купить

Задачи на собственные значения возникают при теоретическом исследовании и численном решении многих важных научно-технических задач. В настоящей работе рассматривается одномерная задача на собственные значения. Задачи подобного вида описывают собственные колебания одномерных механических систем и широко применяются при математическом моделировании в математической физике и механике конструкций. Постановка задачи на собственные значения сводится к нахождению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с однородными краевыми условиями Дирихле. Исходная дифференциальная задача приближается сеточными схемами метода конечных разностей и метода конечных элементов на равномерной сетке при различных способах вычисления возникающих интегралов. Целью работы является построить с помощью метода конечных элементов и метода конечных разностей приближённые сеточные схемы для приближённого решения исходной дифференциальной задачи, сформулировать эти сеточные схемы в матричной форме, вычислить собственные значения и собственные функции матричных задач на собственные значения, построить графики собственных функций для модельных задач, экспериментально вычислить и исследовать скорость сходимости различных вариантов сеточных аппроксимаций метода конечных элементов и метода конечных разностей.
В разделе 1 приведена математическая постановка дифференциальной задачи на собственные значения. Задача сводится к нахождению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями Дирихле. Здесь формулируются условия на коэффициенты задачи и излагаются свойства собственных значений и собственных функций. В разделе 2 приведены теоретические и практические результаты, касающиеся построения сеточной схемы метода конечных элементов для краевых задач, формирования системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов, исследования сходимости и погрешности приближенных решений. В разделе 3 даются формулировки сеточных схем метода конечных элементов для задач на собственные значения с постоянными и переменными коэффициентами, построены системы линейных алгебраических уравнений и записаны их матричные постановки. В разделе 4 излагается построение сеточной схемы метода конечных разностей для краевой задачи. Здесь применяется интегро-интерполяционный метод. Полученные сеточные схемы записаны в матричной форме. В разделе 5 дается описание формирования сеточных схем и матричных систем для задач на собственные значения с помощью метода конечных разностей. В разделе 6 формулируется модельная задача на собственные значения с известными точными решениями и описываются проведенные численные эксперименты. В заключении изложены полученные выводы. В приложении А и приложении Б находятся результаты проведенных расчетов и разработанная программа для численных экспериментов.
Прикладные дифференциальные задачи на собственные значения исследованы в книгах [1-4, 10]. Теоретические результаты о существовании собственных значений и собственных функций и их свойствах для дифференциальных задач на собственные значения приведены в книгах [1-4, 9, 10]. Сеточные методы решения дифференциальных краевых задач и дифференциальных задач на собственные значения изучены в книгах [4-8].

Купить