Заказать работу


Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


СЕТОЧНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Работа №39680
Тип работыМагистерская диссертация
Предметматематика
Объем работы106
Год сдачи2019
Стоимость4900 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 137
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Постановка задачи 6
2 Метод конечных элементов для краевой задачи 8
2.1 Постановка краевой задачи 7
2.2 Формулировка схемы метода конечных элементов 12
2.3 Исследование погрешности 18
3 Аппроксимация задачи на собственные значения 20
3.1 Сеточная схема с постоянными коэффициентами 20
3.2 Уравнение с переменными коэффициентами 23
4 Метод конечных разностей для краевой задачи 26
4.1 Построение разностной схемы 26
4.2 Случай постоянных коэффициентов 30
4.3 Случай переменных коэффициентов 32
5 Конечно-разностная задача на собственные значения 34
5.1 Случай постоянных коэффициентов 34
5.2 Случай переменных коэффициентов 35
6 Численные эксперименты 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 42
ПРИЛОЖЕНИЕ А Результаты расчетов 43
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Программы


Задачи на собственные значения возникают при теоретическом исследовании и численном решении многих важных научно-технических задач. В настоящей работе рассматривается одномерная задача на собственные значения. Задачи подобного вида описывают собственные колебания одномерных механических систем и широко применяются при математическом моделировании в математической физике и механике конструкций. Постановка задачи на собственные значения сводится к нахождению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с однородными краевыми условиями Дирихле. Исходная дифференциальная задача приближается сеточными схемами метода конечных разностей и метода конечных элементов на равномерной сетке при различных способах вычисления возникающих интегралов. Целью работы является построить с помощью метода конечных элементов и метода конечных разностей приближённые сеточные схемы для приближённого решения исходной дифференциальной задачи, сформулировать эти сеточные схемы в матричной форме, вычислить собственные значения и собственные функции матричных задач на собственные значения, построить графики собственных функций для модельных задач, экспериментально вычислить и исследовать скорость сходимости различных вариантов сеточных аппроксимаций метода конечных элементов и метода конечных разностей.
В разделе 1 приведена математическая постановка дифференциальной задачи на собственные значения. Задача сводится к нахождению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями Дирихле. Здесь формулируются условия на коэффициенты задачи и излагаются свойства собственных значений и собственных функций. В разделе 2 приведены теоретические и практические результаты, касающиеся построения сеточной схемы метода конечных элементов для краевых задач, формирования системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов, исследования сходимости и погрешности приближенных решений. В разделе 3 даются формулировки сеточных схем метода конечных элементов для задач на собственные значения с постоянными и переменными коэффициентами, построены системы линейных алгебраических уравнений и записаны их матричные постановки. В разделе 4 излагается построение сеточной схемы метода конечных разностей для краевой задачи. Здесь применяется интегро-интерполяционный метод. Полученные сеточные схемы записаны в матричной фрме. В разделе 5 дается описание формирования сеточных схем и матричных систем для задач на собственные значения с помощью метода конечных разностей. В разделе 6 формулируется модельная задача на собственные значения с известными точными решениями и описываются проведенные численные эксперименты. В заключении изложены полученные выводы. В приложении А и приложении Б находятся результаты проведенных расчетов и разработанная программа для численных экспериментов.
Прикладные дифференциальные задачи на собственные значения исследованы в книгах [1-4, 10]. Теоретические результаты о существовании собственных значений и собственных функций и их свойствах для дифференциальных задач на собственные значения приведены в книгах [1-4, 9, 10]. Сеточные методы решения дифференциальных краевых задач и дифференциальных задач на собственные значения изучены в книгах [4-8].


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


В настоящей работе исследуется одномерная дифференциальная задача на собственные значения. Задачи подобного вида описывают собственные колебания одномерных объектов и применяются при математическом моделировании в математической физике и механике. Постановка данной задачи приводит к вычислению собственных значений и собственных функций симметричного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с однородными краевыми условиями Дирихле. Исходная дифференциальная задача на собственные значения приближается по методу конечных разностей и методу конечных элементов на равномерной сетке при использовании точного и приближённого интегрирования. Целью данной работы является с помощью метода конечных элементов и метода конечных разностей построить приближённые сеточные схемы для решения исходной дифференциальной задачи, сформулировать сеточные схемы в матричном виде, вычислить собственные значения и собственные функции, построить графики собственных функций для модельных задач, экспериментально вычислить и исследовать скорость сходимости сеточных схем метода конечных элементов и метода конечных разностей при различных способах вычисления интегралов.
Приведём полученные выводы из экспериментов, результаты которых помещены на рисунках А.1-А.5 и в таблицах А.1-А.105.
В проведённых экспериментах для модельной задачи наблюдалось приближение к собственным значениям снизу для МКЭ3, МКР1, МКР2, МКР3, МКР4, МКР5, и сверху для МКЭ1, МКЭ2, МКЭ4, МКЭ5.
Экспериментально установлено, что существуют положительные постоянные ci и c2, не зависящие от шага сетки h и от величины собственного значения Xk, для которых выполняются оценки погрешности:
X - Xk < citi1Xi, ytk> - || < cohxf2,
при k = 1,2 ..., 9, h = 1/N, N = 100,200,300.


1. Васильева, А.Б. Интегральные уравнения [Текст] / А.Б. Васильева, Н.А. Тихонов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 160 с.
2. Карчевский, М.М. Лекции по уравнениям математической физики [Текст]: Учебное пособие / М.М. Карчевский. - 2-е изд., испр. - СПб.: Издательство «Лань», 2016. - 164 с.
3. Карчевский, М.М. Уравнения математической физики. Дополнительные главы [Текст]: Учебное пособие / М.М. Карчевский, М.Ф. Павлова. - 2-е изд., доп. - СПб.: Издательство «Лань», 2016. - 276 с.
4. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения (с техническими прило-жениями) [Текст] / Л. Коллатц. - М.: Наука, 1968. - 504 с.
5. Марчук, Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы [Текст] / Г.И. Марчук, В.И. Агошков. - М.: Наука, 1981. - 416 с.
6. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем [Текст] / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1971. - 552 с.
7. Самарский, А.А. Введение в численные методы [Текст] / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1987. - 288 с.
8. Самарский, А.А. Разностные методы для эллиптических уравнений [Текст] / А.А. Самарский, В.Б. Андреев. - М.: Наука, 1976. - 352 с.
9. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения [Текст] / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с.
10. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Изд-во МГУ, 2004. - 798 с.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.

Пожалуйста, укажите откуда вы узнали о сайте!


Подобные работы


© 2008-2021 Cервис помощи студентам в выполнении работ
.