Заказать работу


Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


СЕТОЧНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Работа №77902
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы53
Год сдачи2017
Стоимость4300 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 8
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

ВВЕДЕНИЕ 3
1 Постановка задачи 5
2 Метод конечных элементов для краевой задачи 7
2.1 Краевая задача 7
2.2 Построение схемы метода конечных элементов 9
2.3 Сходимость 14
3 Метод конечных элементов для задачи на собственные значения 15
3.1 Уравнение с постоянными коэффициентами 15
3.2 Уравнение с переменными коэффициентами 17
4 Метод конечных разностей для краевой задачи 20
4.1 Построение схемы интегро-интерполяционным методом 20
4.2 Уравнение с постоянными коэффициентами 21
4.3 Уравнение с переменными коэффициентами 23
5 Метод конечных разностей для задачи на собственные значения 25
5.1 Задача с постоянными коэффициентами 25
5.2 Задача с переменными коэффициентами 25
6 Численные эксперименты 28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 30
ПРИЛОЖЕНИЕ А Результаты расчетов 31
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Программы


Задачи на собственные значения возникают при теоретическом исследовании и численном решении важных научно-технических задач. В настоящей работе рассматривается одномерная задача Штурма-Лиувилля. Задачи подобного вида описывают собственные колебания одномерных объектов и применяются при математическом моделировании в математической физике и механике. Постановка задачи сводится к нахождению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения с однородными граничными условиями Дирихле. Исходная задача аппроксимируется методом конечных разностей и методом конечных элементов на равномерной сетке. Целью работы является с помощью метода конечных элементов и метода конечных разностей построить приближенные сеточные схемы для решения задачи, сформулировать их в матричном виде, вычислить собственные значения, построить графики собственных функций для модельных задач, экспериментально вычислить и исследовать скорость сходимости метода конечных элементов и метода конечных разностей.
В разделе 1 приведена постановка задачи Штурма-Лиувилля. Задача сводится к нахождению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями Дирихле. Формулируются условия на коэффициенты задачи и излагаются свойства собственных значений и собственных элементов. В разделе 2 приведены теоретические и практические результаты, касающиеся построения сеточной схемы метода конечных элементов для краевых задач, формирования системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов, исследования сходимости и погрешности приближенных решений. В разделе 3 даются формулировки сеточных схем метода конечных элементов для задач на собственные значения с постоянными и переменными коэффициентами, построены системы линейных алгебраических уравнений и записаны их матричные постановки. В разделе 4 излагается построение сеточной схемы метода конечных разностей для краевой задачи. Здесь применяется интегро-интерполяционный метод. Сеточные схемы приведены к матричному виду. В разделе 5 дается описание формирования сеточных схем и матричных систем для задач на собственные значения с помощью метода конечных разностей. В разделе 6 формулируется модельная задача на собственные значения с известными точными решениями и описываются проведенные численные эксперименты. В заключении изложены полученные выводы. В приложении А и приложении Б находятся результаты проведенных расчетов и разработанная программа для численных экспериментов.
Прикладные задачи на собственные значения изучены в книгах [1-4, 10]. Теоретические результаты о существовании решений и их свойствах для дифференциальных задач на собственные значения изложены в книгах [1-4, 9, 10]. Сеточные методы решения дифференциальных краевых задач и дифференциальных задач на собственные значения исследовались в книгах [4-8].


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


В настоящей работе исследуется одномерная задача Штурма-Лиувилля. Задачи подобного вида описывают собственные колебания одномерных объектов и применяются при математическом моделировании в математической физике и механике. Постановка задачи приводит к определению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения с однородными граничными условиями Дирихле. Исходная задача аппроксимируется методом конечных разностей и методом конечных элементов на равномерной сетке. Целью работы является с помощью метода конечных элементов и метода конечных разностей построить приближенные сеточные схемы для решения задачи, сформулировать их в матричном виде, вычислить собственные значения, построить графики собственных функций для модельных задач, экспериментально вычислить и исследовать скорость сходимости метода конечных элементов и метода конечных разностей.
Приведем полученные выводы из экспериментов, результаты которых приведены на рисунках А.1-А.5 и в таблицах А.1-А.25.
В проведенных экспериментах для модельной задачи наблюдалось приближение к собственным значениям снизу для метода конечных разностей и сверху для метода конечных элементов.



1. Васильева, А.Б. Интегральные уравнения [Текст] / А.Б. Василье¬ва, Н.А. Тихонов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 160 с.
2. Карчевский, М.М. Лекции по уравнениям математической физи¬ки [Текст]: Учебное пособие / М.М. Карчевский. - 2-е изд., испр. - СПб.: Издательство «Лань», 2016. - 164 с.
3. Карчевский, М.М. Уравнения математической физики. Дополни¬тельные главы [Текст]: Учебное пособие / М.М. Карчевский, М.Ф. Пав¬лова. - 2-е изд., доп. - СПб.: Издательство «Лань», 2016. - 276 с.
4. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями) [Текст] / Л. Коллатц. - М.: Наука, 1968. - 504 с.
5. Марчук, Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы [Текст] / Г.И. Марчук, В.И. Агошков. - М.: Наука, 1981. - 416 с.
6. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем [Текст] / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1971. - 552 с.
7. Самарский, А.А. Введение в численные методы [Текст] / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1987. - 288 с.
8. Самарский, А.А. Разностные методы для эллиптических уравнений [Текст] / А.А. Самарский, В.Б. Андреев. - М.: Наука, 1976. - 352 с.
9. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения [Текст] / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с.
10. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики [Текст] / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Изд-во МГУ, 2004. - 798 с.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.

Пожалуйста, укажите откуда вы узнали о сайте!



© 2008-2022 Cервис помощи студентам в выполнении работ