ВВЕДЕНИЕ 3
1 Постановка задачи 5
2 Метод конечных элементов для краевой задачи 7
2.1 Краевая задача 7
2.2 Построение схемы метода конечных элементов 9
2.3 Сходимость 14
3 Метод конечных элементов для задачи на собственные значения 15
3.1 Уравнение с постоянными коэффициентами 15
3.2 Уравнение с переменными коэффициентами 17
4 Метод конечных разностей для краевой задачи 20
4.1 Построение схемы интегро-интерполяционным методом 20
4.2 Уравнение с постоянными коэффициентами 21
4.3 Уравнение с переменными коэффициентами 23
5 Метод конечных разностей для задачи на собственные значения 25
5.1 Задача с постоянными коэффициентами 25
5.2 Задача с переменными коэффициентами 25
6 Численные эксперименты 28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 30
ПРИЛОЖЕНИЕ А Результаты расчетов 31
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Программы

Купить

Задачи на собственные значения возникают при теоретическом исследовании и численном решении важных научно-технических задач. В настоящей работе рассматривается одномерная задача Штурма-Лиувилля. Задачи подобного вида описывают собственные колебания одномерных объектов и применяются при математическом моделировании в математической физике и механике. Постановка задачи сводится к нахождению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения с однородными граничными условиями Дирихле. Исходная задача аппроксимируется методом конечных разностей и методом конечных элементов на равномерной сетке. Целью работы является с помощью метода конечных элементов и метода конечных разностей построить приближенные сеточные схемы для решения задачи, сформулировать их в матричном виде, вычислить собственные значения, построить графики собственных функций для модельных задач, экспериментально вычислить и исследовать скорость сходимости метода конечных элементов и метода конечных разностей.
В разделе 1 приведена постановка задачи Штурма-Лиувилля. Задача сводится к нахождению собственных значений и собственных функций обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями Дирихле. Формулируются условия на коэффициенты задачи и излагаются свойства собственных значений и собственных элементов. В разделе 2 приведены теоретические и практические результаты, касающиеся построения сеточной схемы метода конечных элементов для краевых задач, формирования системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов, исследования сходимости и погрешности приближенных решений. В разделе 3 даются формулировки сеточных схем метода конечных элементов для задач на собственные значения с постоянными и переменными коэффициентами, построены системы линейных алгебраических уравнений и записаны их матричные постановки. В разделе 4 излагается построение сеточной схемы метода конечных разностей для краевой задачи. Здесь применяется интегро-интерполяционный метод. Сеточные схемы приведены к матричному виду. В разделе 5 дается описание формирования сеточных схем и матричных систем для задач на собственные значения с помощью метода конечных разностей. В разделе 6 формулируется модельная задача на собственные значения с известными точными решениями и описываются проведенные численные эксперименты. В заключении изложены полученные выводы. В приложении А и приложении Б находятся результаты проведенных расчетов и разработанная программа для численных экспериментов.
Прикладные задачи на собственные значения изучены в книгах [1-4, 10]. Теоретические результаты о существовании решений и их свойствах для дифференциальных задач на собственные значения изложены в книгах [1-4, 9, 10]. Сеточные методы решения дифференциальных краевых задач и дифференциальных задач на собственные значения исследовались в книгах [4-8].

Купить