ВВЕДЕНИЕ 3
1 Вывод уравнения колебаний мембраны 5
2 Задача о собственных колебаниях 8
3 Формулировка схемы метода конечных разностей 10
4 Построение схемы для задачи на собственные значения 13
5 Программное решение матричной задачи 18
6 Исследование метода конечных разностей 34
7 Результаты работы программы 35
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 43
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 44

Купить

Задачи на собственные значения возникают в связи с решением важных научно-технических задач. К подобным задачам относятся задачи конструирования летательных аппаратов, надводных и подводных судов, расчета на прочность строительных конструкций. Математически задача на собственные значения сводится к нахождению собственных значений и собственных функций дифференциального оператора, заданного в области сложной формы. В настоящей работе изучаются задачи на собственные значения для эллиптического оператора второго порядка в многоугольных областях, имеющих вырезы. Исходные задачи аппроксимируются методом конечных разностей на равномерной сетке. Целью работы является экспериментальное исследование погрешности метода конечных разностей в зависимости от формы области.
В разделе 1 дается вывод общего уравнения колебаний мембраны. В разделе 2 с помощью метода разделения переменных получена постановка дифференциальной задачи, описывающей собственные колебания мембраны с жестким закреплением на части границы. В разделе 3 вводится разностная аппроксимация краевой задачи для дифференциального оператора. В разделе 4 строится разностная аппроксимация дифференциальной задачи на собственные значения с однородными граничными условиями Дирихле и Неймана. В разделе 5 приводится программная реализация разностной задачи на собственные значения. В разделе 6 выведена формула, позволяющая вычислять порядок сходимости приближенного собственного значения, полученного по методу конечных разностей, в зависимости от шага сетки. В разделе 7 описываются проведенные численные эксперименты и полученные результаты. В заключении приведены основные результаты работы и выводы из проведенных исследований.
Вывод уравнения колебаний мембраны проводился с помощью книг [1,2,8]. Многочисленные приложения задач на собственные значения изучены в книгах [1-3,7,8]. Сеточные методы решения дифференциальных краевых задач и дифференциальных задач на собственные значения исследовались в книгах [4-6].
Купить