Тема: Метод Фурье

Актуальность исследования. Метод Фурье является одним из наиболее распространенных методов аналитического решения краевых задач математической физики.
В 1822 Жан Батист Жозеф Фурье опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и разработал для решения этого уравнения при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев.
В общем виде метод Фурье был разработан Михаилом Васильевичем Остроградским в 1828.
Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. В частности, если заданное уравнение содержит две независимые переменные, то вспомогательные задачи будут зависеть уже только от одной переменной. Таким образом, решение уравнения с частными производными сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
В этой главе мы рассмотрим технику применения одного из основных аналитических методов решения краевых задач математической физики — метода Фурье. Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее общих методов математической физики, применение, которого не ограничивается уравнениями какого-либо одного типа (гиперболического, эллиптического или параболического) и оказывается эффективным при рассмотрении широкого класса задач.
Применение метода Фурье будет иметь успех, если уравнение задачи является линейным и относится к классу дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Цель исследования: использование метода Фурье для исследования краевых задач.
Задачи: изучить метод Фурье для эллиптических, гиперболических, параболических уравнений.
Объект исследования: уравнения с частными производными.
Предмет исследования: краевые задачи и задачи Штурма - Лиувилля.
Методы исследования: метод Фурье, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Структура и объём работы. Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 59 страницах. Список литературы содержит 12 наименований.

Купить

В данной работе был рассмотрен и изучен метод Фурье для решения краевых задач. Также были рассмотрены примеры краевых задач.
В данной работе были получены следующие результаты:
1) рассмотрены и изучены различные задачи Штурма - Лиувилля и их системы решений:
- задача Штурма - Лиувилля;
- фундаментальная система решений Штурма - Лиувилля;
- разложение в ряд по собственным функциям регулярной задачи Штурма - Лиувилля;
- сингулярная задача Штурма - Лиувилля;
- общее изложение метода Фурье для случая двух независимых переменных.
2) решены краевые задачи для уравнения Лапласа:
- внутренние и внешние краевые задачи для уравнения Лапласа;
- частные решения уравнения Лапласа в полярной системе координат;
- краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга, вне круга, в круговом кольце, в прямоугольнике;
- построение явных формул решений некоторых задач.

Купить