Введение 6
1. Абстрактная задача Штурма — Лиувилля на геометрическом графе 8
2. Задача Штурма — Лиувилля для некоторых геометрических графов 10
3. Метод Фурье для математической модели
Буссинеска — Лява на геометрическом графе 29
4. Обоснование метода Фурье для математической модели
Буссинеска - Лява на геометрическом графе 34
Заключение 55
Литература 56
Пусть G = G($J, (£) - конечный связный ориентированный граф, где QJ = {V^} - множество вершин, а (8 = {Ej} - множество ребер. Каждому ребру поставим в соответствие два числа lj,dj G R+, обозначающие длину и площадь поперечного сечения ребра Ej соответственно. На графе G рассмотрим задачу Штурма - Лиувилля для уравнения
азиз ~ (сз(х^з*)х = из = из(х (О-1)
х Е (Q,lj),t € R
Для уравнений (0.1) в каждой вершине графа зададим условия
djCj(O}Ujx(O,t} dmCm(J,m^Umx(Jm-,t') = 0, (0-2)
EjeE^Vi) ЕтеЕ"(Ъ)
tij(O, t) = «ДО, i) =: um(lm, V) — un(ln, t), (0-3)
где Ej, Ek 6 7V*(Vi), Em, En G ЕДК) Д G R. Здесь через Ea(-,JJVi) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине V.- Условие (0.2) обозначает, что поток через каждую вершину должен равняться нулю, а условие (0.3) - что решение и = (щ,и2, ...,Uj,...) в каждой вершине должно быть непрерывным. В частном случае, когда граф G состоит из одного ребра и двух вершин, условие (0.3) исчезает, а условие (0.2) превращается в условие Неймана. Дифференциальные уравнения на графах - сравнительно новая часть математического знания. Первые публикации в этой области появились в последнее десятилетие прошлого века, первая монография вышла в 2004 г. [5] и была посвящена изучению качественных свойств дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети. В [12] на графе G рассмотрены уравнения реакции-диффузии
Hjt — ujxx + (0, {;'); t € R-H-, где f - гладкая функция, с условиями типа Кирхгоффа. Между тем было замечено, что в ряде случаев уравнения Соболевского типа описывают процессы реакции-диффузии лучше, чем полулинейные уравнения вида (0.4).
Уравнения Соболевского типа на графах впервые были рассмотрены в 2002 г. [6]; первое диссертационное исследование в этом направлении было выполнено в 2002 - 2005 гг. [И] и содержало результаты [7] — [9]. В работах [2, 3, 5-9, И] возникла задача Штурма - Лиувилля (0.1) - (0.3), правда, в частном случае (c.j)x = 1,аДя) = а = const), причем предложенный подход имел мало общего с результатами [4]. Дальнейшее исследование [10] привело к новой задаче Штурма - Лиувилля вида (0.1) - (0.3), теперь уже в случае Cj(x) = 1,аДж) = ctj. Это обстоятельство побудило рассмотреть задачу (0.1) - (0.3), которая является естественным обобщением рассмотренных ранее задач. Полученные результаты носят окончательный и исчерпывающий характер.
В работе методом Фурье исследуется задача (0.1) - (0.3) на геометрическом графе. Цель данной работы - найти решения уравнения Буссинеска - Лява для некоторых конечных, связных ориентированных графов. Работа, кроме вводной части, заключения и списка литературы содержит четыре параграфа. В первом параграфе приведены свойства собственных значений и собственных функций задачи, взятые в [1]. Второй параграф посвящен конкретным примерам решений задач Штурма - Лиувилля. В третьем параграфе, применяя метод Фурье, находятся решения задачи Буссинеска - Лява. В последнем параграфе, сделано обоснование применения метода Фурье для задачи Буссинеска - Лява для некоторых конечных связных ориентированных графов.
В работе найдены решения уравнения Буссинеска - Лява на некоторых геометрических графах.
В ходе выполнения поставленной задачи в первом параграфе были рассмотрены свойства собственных функций и собственных значений вспомогательной задачи. Во втором параграфе решена вспомогательная задача Штурма - Лиувилля для некоторых графов. В третьем параграфе были найдены формулы решения уравнения Буссинеска - Лява на конкретных графах с помощью метода Фурье. В четвертом параграфе дано обоснование применимости метода Фурье для решения задачи на конкретных связных ориентированных графах, то есть даны условия на начальные функции, при которых можно применять данный метод.
Данная задача остается открытой для дальнейшего рассмотрения, так как рассмотрена лишь малая часть графов.
