ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОГО ОКЕАНА

АННОТАЦИЯ 2
Введение 3
1. Предварительные сведения 7
1.1. Предварительные сведения из теории операторов 7
1.2. Вычисление собственных значений дискретных полуограниченных операторов 12
1.3. Интегральные уравнения 16
1.4. Обратная спектральная задача для дискретного полуограниченного оператора 19
2. Обратная спектральная задача для математической модели
свободных колебаний стратифицированного океана 21
2.1. Редукция обратной спектральной задачи к интегральному
уравнению Фредгольма первого рода 21
2.2. Решение обратных спектральных задач для оператора
Штурма-Лиувилля с помощью регуляризации плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений 26
2.3. Алгоритм численного решения задачи определения
плотности воды по резонансным частотам антиплоских колебаний 30
2.4. Вычислительный эксперимент для математической модели опре
деления плотности упругого слоя по резонансным
частотам антиплоских колебаний 32
Заключение 35
Библиографический список
Купить

Возможность зондировать толщу океана с помощью искусственных спутников Земли дало толчок исследованию новых задач. Например, задача определения плотности воды по характеристикам внутренних волн. Внутренние волны на свободной поверх ности океана могут проявляться в виде световых бликов. Причем скорость перемещения их равна фазовой скорости внутренних волн. Искусственные спутники Земли позволяют фиксировать эти блики и измерять с какой скоростью они перемещаются по свободной поверхности океана. Фазовая скорость распространения внутренних волн и их длина, определенные по фотографиям из космоса позволяют рассчитать распределение плотности по глубине и благодаря этому определить местонахождение аномальной плотности. Источниками такой аномальной плотности могут быть подводные лодки, косяки рыб, аквалангисты, батискафы, затонувшие суда и т.д.
Итак, рассмотрим задачу восстановления распределения плотности воды в толще океана для его конкретных районов по фазовым характеристикам внутренних волн, проявляемым на свободной поверхности, используя общепринятые океанологические постановки [24].
Расмотрим упругий слой толщины H = const, закрепленный на обеих границах z = 0 и z = H и простирающийся до бесконечности по горизонтальным направлениям [26]. Начало координат берется на нижнем основании слоя, ось z направлена вертикально вверх, оси x,y - горизонтально. В океанологической постановке задачи о свободных колебаниях стратифицированного океана в приближениях Буссинеска и «твёрдой крышки» для амплитудной функции вертикальных колебаний частиц жидкости рассматриваемая задача сводится к следующей краевой задаче [24]
/,>2
W"(z) - W'(z) + в (,) „ k:2W (z)=0, -H < z < 0,
g ш2 - i
W(-H) = 0, W(0) - .gk „W(0) = 0,
ш - f
в (z) = - g p' z).
po
Здесь W - амплитудная функция колебания частиц жидкости в направлении оси Oz амплитудная функция вертикальной компоненты скорости частиц жидкости; в(z) - квадрат частоты плавучести (частоты Вяйсяля- Брента). Частота Вяйсяля Брента вводится для устойчивой стратификации (плотность жидкости возрастает с увеличением глубины) и характеризует собой частоту малых свободных колебаний частиц воды вблизи уровня z; p0(z) - плотность жидкости в равновесном состоянии( плотность невозмущенного океана); ш - круговая частота свободных колебаний неоднородной жидкости; k - соответствующее данной частоте волновое число вертикальных колебаний частиц неоднородной жидкости; g - ускорение свободного падения; p0(z) - плотность жидкости в равновесном состоянии, соответствующее состоянию покоя жидкости; f = 2Q sin ф - сила Кориолиса; Q - угловая скорость вращения Земли; ф - широта местности, в которой исследуются внутренние волны; H = const - глубина водоема.
Первыми известными нам работами в области обратных задач волновых движений неоднородной жидкости были работы Гродского С.А., Кудрявцева В.Н. , Черкесова Л.В., Селезова И.Т.. В настоящее время активно изучением таких задач занимаются Потетюнко Э.Н., Аносова Е.А.[25]. Математическая модель с разными граничными условиями рассматривалась также и в приближении Буссинеска — когда в краевой задаче опускалось слагаемое, и в приближении «твердой крышки», когда граничное условие на свободной поверхности заменялось условием W(0) = 0. Рассматривалась также задача в приближении Буссинеска и «твердой крышки»одно- временно.
В данной работе показано, что задача восстановления аномального распределения плотности воды в толще океана для его конкретных районов по фазовым характеристикам внутренних волн, проявляемым на свободной поверхности, в пренебрежении диссипативными эффектами (вязкостью, теплопроводностью, диффузией), сводится к решению обратной спектральной задачи Штурма - Лиувилля относительно амплитудной функции вертикальной компоненты скорости частиц жидкости.
Р0«)W"«)= pW(■), 0 < 1,
W (0) = W (1) = 0,
Ш 2 - f 2
P0(Z) = Щ A f 2,
p (z) — Ш 2
Здесь W - амплитудная функция колебания частиц жидкости в направлении оси Oz амплитудная функция вертикальной компоненты скорости частиц жидкости; p = —H2k2, £ = — + 1 -безразмерная переменная, в(z)
H
- квадрат частоты плавучести (частоты Вяйсяля - Брента). Частота Вяй- сяля - Брента вводится для устойчивой стратификации (плотность жидкости возрастает с увеличением глубины) и характеризует собой частоту малых свободных колебаний частиц воды вблизи уровня z; p0(z) - плотность жидкости в равновесном состоянии( плотность невозмущенного океана); ш - круговая частота свободных колебаний неоднородной жидкости; к - соответствующее данной частоте волновое число вертикальных колебаний частиц неоднородной жидкости; g - ускорение свободного падения; p0(z) - плотность жидкости в равновесном состоянии, соответствующее состоянию покоя жидкости; f = 2Q sin ф - сила Кориолиса; Q - угловая скорость вращения Земли; ф - широта местности, в которой исследуются внутренние волны; ф = — Hk2; H = const - глубина водоема.
Целью работы является разработка метода восстановления значений плотности толщи океана методами спектральной теории операторов.
В соответствии с поставленной целью выделены следующие задачи:
- решение прямой спектральной задачи на собственные числа возмущенного дискретного полуограниченного оператора;
- сведение рассматриваемой задачи по восстановлению плотности океана к обратной спектральной задаче для дискретного полуограниченного оператора;
- разработка алгоритма нахождения решения обратной спектральной задачи;
- проведение вычислительного эксперимента.

Купить