📄Работа №202185
Тема: Исследование одного класса сингулярных математических моделей
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Математика
Объем:
40 листов
Год:
2019
Просмотров:
59
4400
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Аннотация 2
Введение 4
1. Вспомогательные утверждения 9
2. Признаки корректной разрешимости краевых задач для
сингулярного дифференциального уравнения второго порядка 18
3. Разрешимость квазилинейных задач для сингулярного дифференциального уравнения второго порядка 27
Заключение 34
Библиографический список 35
Введение 4
1. Вспомогательные утверждения 9
2. Признаки корректной разрешимости краевых задач для
сингулярного дифференциального уравнения второго порядка 18
3. Разрешимость квазилинейных задач для сингулярного дифференциального уравнения второго порядка 27
Заключение 34
Библиографический список 35
📖 Аннотация
В данной работе проводится исследование одного класса сингулярных математических моделей, а именно квазилинейных краевых задач для сингулярных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Актуальность исследования обусловлена широким применением подобных моделей для описания реальных процессов в естественных науках и экономике, а также необходимостью разработки эффективных критериев их разрешимости, преодолевающих ограничения классических методов. Основным результатом является получение новых, менее жестких по сравнению с непосредственным применением схемы Шаудера, достаточных признаков корректной разрешимости исследуемого класса сингулярных краевых задач. Научная значимость работы заключается в развитии теории функционально-дифференциальных уравнений, а практическая – в расширении инструментария для анализа прикладных моделей, содержащих сингулярности. Теоретической основой исследования послужили фундаментальные работы таких авторов, как Н.В. Азбелев, И.Т. Кигурадзе, А.Д. Мышкис и Дж. Хейл, заложивших основы теории квазилинейных краевых задач для дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений.
📖 Введение
Квазилинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) являются объектом интенсивного изучения начиная со времен С.Н. Бернштейна и М. Нагумо. Интерес к таким объектам объясняется и тем, что квазилинейные краевые задачи возникают в математических моделях многих реальных процессов (в биологии, химии, экологии, экономике и др.).
Классические методы изучения квазилинейных краевых задач для ОДУ, в основном, сводится к следующим схемам: 1) получение априорных оценок решений с последующим применением теорем о неподвижных точках к вспомогательному интегральному уравнению (схема Лере-Шаудера); 2) построение последовательных приближений решения и доказательство сходи- миости. Кроме того, разработаны методы исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач, основанные на использовании специфических свойств рассматриваемой задачи (монотонность в смысле полуупорядоченности или по Минти-Браудера и т.д.). Вопросы разрешимости квазилинейных краевых задач для ОДУ изучились многими авторма. Отметим работы Н.В. Азбелева, Н.И. Васильева, В.В. Гудкова, И.Т. Кигурадзе, Ю.А. Клюкова, Б.Л. Шехтера и др.
Дальнейшее развитие теории квазилинейных краевых задач привело к необходимости рассмеотрения задач для функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). Разработке основ теории квазилинейных краевых задач для ФДУ посвящены основополагающие работы Н.В. Азбелева, А.Д. Мышкиса, Дж. Хейла и других авторов [38,44,53,55]. Наиболее полно и многосторонне теория квазилинейныз краевых задач нашла отражение в работах участников Пермского Семинара под руководством профессора Н.В. Азбелева [9-15]. Отметим работы А.Р. Абдуллаева [1-8], Н.В. Азбелева, С.А. Гусаренко, В.П. Максимова, посвященные исследованию условий разрешимости квазилинейных задач для ФДУ.
Целое направление в изучении квазилинейных задач для ФДУ восходит к работам Н.В. Азбелева и В.П. Максимова [40-42], где для установления признаков разрешимости квазилинейных краевых задач предлагаются способы получения и использования априорных оценок решений, вводится новое понятие априорного неравенства.
Следуя [12], функционально-дифференциальным уравнением X = Fx называется уравнение с оператором F, определенным на некотором множестве абсолютно непрерывных функций D прямому произведению L х Rn и, вытекающее из этого факта разложение линейного оператора L : D ! L на бесконечномерное и конечномерное слагаемые. Замена лебегова пространства L на банахово пространство B позволяет распространить теорию ФДУ и на другие классы уравнений, например, на сингулярные дифференциальные уравнения. Таким образом мы приходим к теории «абстрактного ФДУ». Отмемит работы по этому вопросу Н.В. Азбелева, Л.Ф. Рахматуллиной [17-20].
Объектом изучения в предлагаемой работе является квазилинейная краевая задача, записанная в виде системы двух уравнений
Lx = Fx,
. (0.1)
'X = 'X,
где L : D ! B - линейные ограниченный оператор, F : D ! B - непрерывный оператор, ' : D ! Rn - линейный ограниченный вектор-функционал, ' : D ! Rn - непрерывный вектор-функционал. Банахово пространство D изоморфно прямому произведению банахова пространства B и Rn. Отметим, что, если краевая задача записана в виде системы (0.1), то второе уравнение называется краевыми условиями задача.
Отметим [12], что в виде (0.1) можно записать многие актуальные классы квазилинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, интегродифференциальных, уравнений с отклоняющимся аргументом, уравнение с последействием и других уравнений.
Классические схемы исследования на разрешимость задачи (0.1) используют принципе неподвижной точки Банаха или схему Шаудера. В первом случае необходима липшицевость как оператора F , так и вектора- функционала '. Во втором случае требуется полная непрерывность оператора F. Идея одной из предлагаемых схем опирается на предположение о «конечномерной параметризуемости» множества решений уравнения
Lx = Fx. (0.2)
Уравнение конечномерно параметризуемо, если между множеством решений уравнения и некоторым замкнутым подмножеством конечномерного пространства существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие. n - мерная параметризуемость является частным случаем «приводимости» уравнения [12]. (Уравнение (0.2) называется приводимым, если существует такой вполне непрерывный оператор F0 : D ! B, что множества решений уравнения (0.2) и уравнения Lx = F0x совпадают). Линейное уравнение приводимо тогда и только тогда, когда множество его решений конечномерно параметризуемо. Впервые понятие приводимости введено Н.В. Азбелевым. Отметим исследования по этому вопросу А.Р. Абдуллаева, С.А. Гусаренко, В.П. Максимова [40-42].
В предположении n - мерной параметризуемости решение уравнения (0.2) имеет представление
x = Ma + Xa,
где оператор M : Rn ! D - непрерывен, X - фундаментальный вектор уравнения Lx = 0, a 2 Rn (фундаментальным назвается вектор X = {xi, • • • , xng, где xi, • • • , xn составляют базис линейного многообразия решений однородного уравнения Lx = 0 [12]). Подставляя представление (0.3) в краевые условия задачи (0.1), получаем уравнение
'(Ma + Xa) = '(Ma + Xa)
относительно a. И, если найдется a, удовлетворяющее полученному уравнению, то задача (0.1) будет иметь решение.
В работе используется схема исследования задачи (0.1),(0.2) на корректную разрешимость приведенная в работах [36,37]. Эта схема реализуемая для сингулярного дифференциального уравнения вида:
^(t)x + fix = f (t, x).
Краевые задачи для уравнения (0.4) возникают в математических моделях некоторых реальных процессов. Например, процессов, происходящих в химических реакторах в присутствии катализаторов [26]. В работе получены достаточные условия существования, а также корректной разрешимости некоторых краевых задач для уравнения (0.4).
В работе изучается разрешимость краевых задач для сингулярного уравнения
^(t)x(t) + flX(t) = f (t,x(t)) (0.5)
Полученные здесь утверждения основаны на применении общей схемы исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач. Вопрос о разрешимости различных краевых задач для уравнения (0.5) изучался многими авторами [1,33]. Известные подходы в изучении сингулярных уравнений условно можно отнести к двум направлениям: классический [8], основанный на использовании метода априорных оценок и неравенств, и подход, основанный на идеях теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений [9], где конструируется специальное пространство решений, и используется факт изоморфности данного пространства и прямого произведения некоторого банахова пространства и Rn. Отметим такие работы, использующие построение специальных пространств для сингулярных произведений как [5,8,17]
Отметим, что краевые задачи для уравнения (0.5) возникают в математических моделях некоторых реальных процессов. Например, процессов, происходящих в химических реакторах в присутствии катализаторов [9], или при описании формы свободной поверхности осесимметричного слоя жидкости с учетом массовых сил и поверхностного натяжения [8]. Так, в работах [13,15,16,18] рассматривается уравнение
X + X + 7 exp ( — J = 0
t у x + ту
0 < t < 1, ft0 > 0, т > 0. Оно возникает в теории химических реакций. x - безразмерная температура, fl0 exp уду) - некоторая «скорость реакции». Уравнение (0.6) является частным случаем уравнения (0.5).
В работе получены достаточные условия существования, а также корректной разрешимости некоторых краевых задач для уравнения (0.5).
Цель работы. Исследование условий разрешимости квазилинейных краевых задач с гладкими нелинейностями в уравнении или краевых условиях. Получение эффективных признаков разрешимости некоторых конкретных классов краевых задач для сингулярных уравнений.
Условимся обозначать доказательство внутри символов < ... >.
Классические методы изучения квазилинейных краевых задач для ОДУ, в основном, сводится к следующим схемам: 1) получение априорных оценок решений с последующим применением теорем о неподвижных точках к вспомогательному интегральному уравнению (схема Лере-Шаудера); 2) построение последовательных приближений решения и доказательство сходи- миости. Кроме того, разработаны методы исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач, основанные на использовании специфических свойств рассматриваемой задачи (монотонность в смысле полуупорядоченности или по Минти-Браудера и т.д.). Вопросы разрешимости квазилинейных краевых задач для ОДУ изучились многими авторма. Отметим работы Н.В. Азбелева, Н.И. Васильева, В.В. Гудкова, И.Т. Кигурадзе, Ю.А. Клюкова, Б.Л. Шехтера и др.
Дальнейшее развитие теории квазилинейных краевых задач привело к необходимости рассмеотрения задач для функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). Разработке основ теории квазилинейных краевых задач для ФДУ посвящены основополагающие работы Н.В. Азбелева, А.Д. Мышкиса, Дж. Хейла и других авторов [38,44,53,55]. Наиболее полно и многосторонне теория квазилинейныз краевых задач нашла отражение в работах участников Пермского Семинара под руководством профессора Н.В. Азбелева [9-15]. Отметим работы А.Р. Абдуллаева [1-8], Н.В. Азбелева, С.А. Гусаренко, В.П. Максимова, посвященные исследованию условий разрешимости квазилинейных задач для ФДУ.
Целое направление в изучении квазилинейных задач для ФДУ восходит к работам Н.В. Азбелева и В.П. Максимова [40-42], где для установления признаков разрешимости квазилинейных краевых задач предлагаются способы получения и использования априорных оценок решений, вводится новое понятие априорного неравенства.
Следуя [12], функционально-дифференциальным уравнением X = Fx называется уравнение с оператором F, определенным на некотором множестве абсолютно непрерывных функций D прямому произведению L х Rn и, вытекающее из этого факта разложение линейного оператора L : D ! L на бесконечномерное и конечномерное слагаемые. Замена лебегова пространства L на банахово пространство B позволяет распространить теорию ФДУ и на другие классы уравнений, например, на сингулярные дифференциальные уравнения. Таким образом мы приходим к теории «абстрактного ФДУ». Отмемит работы по этому вопросу Н.В. Азбелева, Л.Ф. Рахматуллиной [17-20].
Объектом изучения в предлагаемой работе является квазилинейная краевая задача, записанная в виде системы двух уравнений
Lx = Fx,
. (0.1)
'X = 'X,
где L : D ! B - линейные ограниченный оператор, F : D ! B - непрерывный оператор, ' : D ! Rn - линейный ограниченный вектор-функционал, ' : D ! Rn - непрерывный вектор-функционал. Банахово пространство D изоморфно прямому произведению банахова пространства B и Rn. Отметим, что, если краевая задача записана в виде системы (0.1), то второе уравнение называется краевыми условиями задача.
Отметим [12], что в виде (0.1) можно записать многие актуальные классы квазилинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, интегродифференциальных, уравнений с отклоняющимся аргументом, уравнение с последействием и других уравнений.
Классические схемы исследования на разрешимость задачи (0.1) используют принципе неподвижной точки Банаха или схему Шаудера. В первом случае необходима липшицевость как оператора F , так и вектора- функционала '. Во втором случае требуется полная непрерывность оператора F. Идея одной из предлагаемых схем опирается на предположение о «конечномерной параметризуемости» множества решений уравнения
Lx = Fx. (0.2)
Уравнение конечномерно параметризуемо, если между множеством решений уравнения и некоторым замкнутым подмножеством конечномерного пространства существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие. n - мерная параметризуемость является частным случаем «приводимости» уравнения [12]. (Уравнение (0.2) называется приводимым, если существует такой вполне непрерывный оператор F0 : D ! B, что множества решений уравнения (0.2) и уравнения Lx = F0x совпадают). Линейное уравнение приводимо тогда и только тогда, когда множество его решений конечномерно параметризуемо. Впервые понятие приводимости введено Н.В. Азбелевым. Отметим исследования по этому вопросу А.Р. Абдуллаева, С.А. Гусаренко, В.П. Максимова [40-42].
В предположении n - мерной параметризуемости решение уравнения (0.2) имеет представление
x = Ma + Xa,
где оператор M : Rn ! D - непрерывен, X - фундаментальный вектор уравнения Lx = 0, a 2 Rn (фундаментальным назвается вектор X = {xi, • • • , xng, где xi, • • • , xn составляют базис линейного многообразия решений однородного уравнения Lx = 0 [12]). Подставляя представление (0.3) в краевые условия задачи (0.1), получаем уравнение
'(Ma + Xa) = '(Ma + Xa)
относительно a. И, если найдется a, удовлетворяющее полученному уравнению, то задача (0.1) будет иметь решение.
В работе используется схема исследования задачи (0.1),(0.2) на корректную разрешимость приведенная в работах [36,37]. Эта схема реализуемая для сингулярного дифференциального уравнения вида:
^(t)x + fix = f (t, x).
Краевые задачи для уравнения (0.4) возникают в математических моделях некоторых реальных процессов. Например, процессов, происходящих в химических реакторах в присутствии катализаторов [26]. В работе получены достаточные условия существования, а также корректной разрешимости некоторых краевых задач для уравнения (0.4).
В работе изучается разрешимость краевых задач для сингулярного уравнения
^(t)x(t) + flX(t) = f (t,x(t)) (0.5)
Полученные здесь утверждения основаны на применении общей схемы исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач. Вопрос о разрешимости различных краевых задач для уравнения (0.5) изучался многими авторами [1,33]. Известные подходы в изучении сингулярных уравнений условно можно отнести к двум направлениям: классический [8], основанный на использовании метода априорных оценок и неравенств, и подход, основанный на идеях теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений [9], где конструируется специальное пространство решений, и используется факт изоморфности данного пространства и прямого произведения некоторого банахова пространства и Rn. Отметим такие работы, использующие построение специальных пространств для сингулярных произведений как [5,8,17]
Отметим, что краевые задачи для уравнения (0.5) возникают в математических моделях некоторых реальных процессов. Например, процессов, происходящих в химических реакторах в присутствии катализаторов [9], или при описании формы свободной поверхности осесимметричного слоя жидкости с учетом массовых сил и поверхностного натяжения [8]. Так, в работах [13,15,16,18] рассматривается уравнение
X + X + 7 exp ( — J = 0
t у x + ту
0 < t < 1, ft0 > 0, т > 0. Оно возникает в теории химических реакций. x - безразмерная температура, fl0 exp уду) - некоторая «скорость реакции». Уравнение (0.6) является частным случаем уравнения (0.5).
В работе получены достаточные условия существования, а также корректной разрешимости некоторых краевых задач для уравнения (0.5).
Цель работы. Исследование условий разрешимости квазилинейных краевых задач с гладкими нелинейностями в уравнении или краевых условиях. Получение эффективных признаков разрешимости некоторых конкретных классов краевых задач для сингулярных уравнений.
Условимся обозначать доказательство внутри символов < ... >.
✅ Заключение
В заключении отметим, что полученные в работе достаточные признаки разрешимости краевых задач для сингулярного дифференциального уравнения (0.5) оказываются менее жестким, чем при непосредственной применимости схемы Шаудера.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.