Спектральная теорема - наименование утверждений из класса теорем о линейных операторах или о матрицах в линейной алгебре и функциональном анализе, дающих условия, при которых оператор или матрица может быть диагонализирован, то есть представлен диагональной матрицей в некотором базисе (в бесконечномерных пространствах эта концепция о диагонализации требует некоторых уточнений). Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться операторами умножения - простейшими операторами, какие только могут быть.
Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, - нормальные операторы в гильбертовых пространствах.
Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям.
Данная дипломная работа посвящена спектральной теореме для самосопряженного оператора.
Актуальность данной темы заключается в том, что спектральная теорема используется в различных разделах математики.
Объект исследования: понятие спектральная теорема, используемое для самосопряженных операторов.
Предмет исследования: процесс изучения спектральной теоремы.
Задачи:
1. Изучить литературу по математике, которая касается исследуемой темы.
2. Вывести спектральную теорему для различных классов операторов.
Цель данной дипломной работы - исследование и изучение самосопряженных операторов и их представление.
Данная дипломная работа состоит из двух глав:
1) Элементы теории линейных операторов;
2) Спектральные разложения.
В первой главе рассматривается понятия конечномерного, компактного и ограниченного операторов. Так же рассматриваются их свойства и некоторые примеры.
Во второй главе рассматривается приведение матрицы к жордановой нормальной форме, спектр компактного оператора и спектральная теорема для самосопряженного оператора.
Данная работа состоит из введения, двух глав, которые включают в себя пять параграфов, заключения и списка использованных источников. Объем дипломной 44 страницы. Библиографический список содержит 27 литературных источников.
В данной дипломной работе были рассмотрены линейные оператор, спектральная теорема для самосопряженного операторов и показано решение некоторых задач.
Наиболее изученным классом теории операторов является теория компактных операторов, но, несмотря на это, остаётся пространство для исследования и изучения более глубокого.
Решение ряда важных задач спектральной теории связано с теорией аналитических функций. Дело в том, что основные объекты, характеризующие спектральную задачу для оператора, такие как резольвента, собственные значения оператора и другие, являются аналитическими функциями спектрального параметра в определённых областях.
В математике, в частности в линейной алгебре и функциональном анализе, термином спектральная теорема обозначают любой из целого класса результатов о линейных операторах или о матрицах. Не вдаваясь в детали можно сказать, что спектральная теорема даёт условия, при которых оператор (или матрица) может быть диагонализирован (т.е. представлен диагональной матрицей в некотором базисе; в бесконечномерных пространствах эта концепция о диагонализации требует некоторых уточнений). Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться операторами умножения — простейшими операторами, какие только могут быть.
На мой взгляд данная дипломная работа будет интересна всем, кто интересуется математикой.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
