Аннотация 3
Введение 3
1 Производная Шварца на классе S 5
2 Производная Шварца на классе Sp 8
2.1 Интегральное представление производной Шварца на классе Sp 10
2.2 Интегральное представление производной Шварца на классе Sp через
функции класса S 17
3 Частный случай 23
Заключение 25
Список использованной литературы
Цель: исследовать производную Шварца и записать ее представление на классе Sp, используя формулу связи между функциями классов S и Sp. Записать интегральное представление производной Шварца на классе Sp.
S — класс голоморфных в круге Е = {z: z < 1 } функций таких, что
/( 0) = 0, / '( 0) = 1.
Sp — класс всех голоморфных в круге Е = {z : z < 1} функций, однолистно отображающих Е на области, имеющие р-кратную (р = 1,2,. . .) симметрию вращения относительно начала, т.е. таких что
/(e(27%>z) = ' >/(z),
к = 1,...,р — 1.
При р = 1 S]_ = S.
Для записи производной Шварца на классе Sp пользовались формулой связи между классами S и Sp. Сделав замену переменной zp = ^ и дифференцируя трижды формулу связи по переменной , получили представление производной Шварца на классе через функции класса .
Для получения интегрального представления рассмотрели уравнение Лёвнера, которое выглядит следующим образом
dg _ _ й рС0 + gр
d т g р р(т) — g р ,
3(z< 0) = z e E ,
0 < т < oo, р(т), | р(т) | = 1 , — кусочно - непрерывная функция;
p e N.
Дифференцируя его необходимое количество раз по переменной z и интегрируя результат по т от 0 до oo , пришли к интегральному представлению производной Шварца на классе .
В качестве другого способа записи интегрального представления производной Шварца на классе использовали формулу представления производной Шварца на классе через функции класса.
Полученные результаты могут быть применимы в области теории функций комплексного переменного, в том числе и при дальнейших исследованиях производной Шварца.
В дипломной работе были получены формулы для представления производной Шварца на классе Sp через функции класса S, а также для ее интегрального представления на этом классе.
В процессе решения задач пользовались определением производной Шварца на классе S, уравнением связи между классами S и Sp и уравнением Лёвнера.
Интегральное представление производной Шварца на классе Sp записали несколькими способами.
Был рассмотрен частный случай при р = 1 , вследствие которого пришли к интегральному представлению производной Шварца на классе S.
