📄Работа №180890
Тема: ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Математика
Объем:
33 листов
Год:
2017
Просмотров:
68
4800
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Реферат
Введение
1. Разностная краевая задача для эллиптического уравнения с постоянными
коэффициентами 6
1.1 Построение разностной схемы 6
1.2 Некоторые свойства разностного оператора 8
1.3 Метод переменных направлений 11
1.4 Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в
прямоугольнике 13
2. Разностная краевая задача для эллиптического уравнения с переменными
коэффициентами 17
2.1 Построение разностной схемы 17
2.2 Метод переменных направлений в случае переменных операторов 19
2.3 Модифицированный попеременно-треугольный метод 22
2.4 Вычислительный алгоритм попеременно-треугольного метода 25
3. Результаты численных расчетов 27
3.1 Метод переменных направлений и попеременно-треугольный метод для решения дифференциальных задач с постоянными коэффициентами 27
3.2 Метод переменных направлений и попеременно-треугольный метод для решения дифференциальных задач с переменными коэффициентами 28
Заключение 31
Список литературы 32
Введение
1. Разностная краевая задача для эллиптического уравнения с постоянными
коэффициентами 6
1.1 Построение разностной схемы 6
1.2 Некоторые свойства разностного оператора 8
1.3 Метод переменных направлений 11
1.4 Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в
прямоугольнике 13
2. Разностная краевая задача для эллиптического уравнения с переменными
коэффициентами 17
2.1 Построение разностной схемы 17
2.2 Метод переменных направлений в случае переменных операторов 19
2.3 Модифицированный попеременно-треугольный метод 22
2.4 Вычислительный алгоритм попеременно-треугольного метода 25
3. Результаты численных расчетов 27
3.1 Метод переменных направлений и попеременно-треугольный метод для решения дифференциальных задач с постоянными коэффициентами 27
3.2 Метод переменных направлений и попеременно-треугольный метод для решения дифференциальных задач с переменными коэффициентами 28
Заключение 31
Список литературы 32
📖 Аннотация
В работе рассматриваются итерационные методы решения разностных уравнений, возникающих при численном решении краевых задач для эллиптических уравнений. Актуальность исследования обусловлена необходимостью выбора эффективных вычислительных алгоритмов, обеспечивающих сходимость при разумных затратах машинного времени и памяти, особенно для задач с переменными коэффициентами. Методологической основой являются метод переменных направлений Писмана-Речфорда и попеременно-треугольный метод Самарского, теоретический анализ которых опирается на труды Самарского А.А., Ильина В.П. и Марчука Г.И. В результате построены разностные схемы второго порядка аппроксимации для эллиптических задач с постоянными и переменными коэффициентами в прямоугольной области, разработаны соответствующие численные алгоритмы и исследована их сходимость. Практическая значимость заключается в том, что разработанные алгоритмы могут быть непосредственно использованы в научных и инженерных расчетах для решения задач математической физики, моделируемых эллиптическими уравнениями. Проведенный анализ показывает, что метод переменных направлений демонстрирует высокую эффективность для задач с постоянными коэффициентами, в то время как модифицированный попеременно-треугольный метод является предпочтительным для случая переменных коэффициентов.
📖 Введение
Задачи математической физики формулируются в виде основного дифференциального уравнения и граничных условий, обеспечивающих существование и единственность решения.
Применение различных численных методов для решения дифференциальных уравнений приводит к системе линейных алгебраических уравнений специального вида - разностным уравнениям. Под разностной схемой понимают совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное уравнение и дополнительные условия исходной дифференциальной задачи.
Существует много различных численных методов для решения системы линейных алгебраических уравнений, они делятся на две группы: итерационные и прямые. В прямых методах решение у в системе уравнений Ау = f находится за конечное число арифметических действий. Итерационные методы состоят в том, что решение у находится как предел к ^ т последовательных приближений ук, где к - номер итерации. Как правило, за конечное число итераций этот предел не достигается. Обычно задается некоторое малое число г > 0 (точность) и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка ||у&+1 — уД| < г. Если новая итерация yk+1 вычисляется через т предыдущих итераций ук,у^_1, ...,ук-т+1, то итерационный метод называется (т + 1) - слойным. Отсюда видна аналогия итерационных схем с
разностными схемами для нестационарных задач. Поэтому и теория итерационных методов фактически является специальным разделом общей теории устойчивости операторно-разностных схем.
В настоящее время предложено множество численных методов решения разностных уравнений, большинство из них рассчитано на матрицы специального вида. Выбор того или иного метода для решения задачи зависит от некоторых факторов: число арифметических операций для получения решения, устойчивость по отношению к ошибкам округления и объем памяти ЭВМ для реализации численного алгоритма.
Одним из первых эффективных методов решения разностных задач был метод, разработанный Д. Писманом и Дж. Речфордом, получивший название метод переменных направлений [1-4]. Он основывается на разложении исходной пятидиагональной матрицы на сумму двух трехдиагональных, каждая из которых соответсвует аппроксимации второй производной и легко обращается методом прогонки. Эффективность метода, устанавливается в предположении, что матрицы самосопряженны и положительно определенны (не обязательно перестановочны).
Другой вариант метода переменных направлений - попеременно-треугольный метод (ПТМ), разработанный академиком А. А. Самарским [2-4]. Здесь матрица разбивается на сумму двух треугольных матриц, и реализация итерационных формул осуществляется по явным рекуррентным формулам. Модификация ПТМ, предложенная А. Б. Кучеровым и Е. С. Николаевым [5,6], позволяет ослабить зависимость числа итераций метода от экстремальных свойств коэффициентов дифференциального уравнения.
В данной работе рассматриваются два итерационных метода: метод переменных направлений и модифицированный попеременно-треугольный метод, для решения систем линейных алгебраических уравнений. Записываются разностные схемы для решения дифференциальных задач эллиптического типа с постоянными и переменными коэффициентами. На модельных задачах были произведены расчеты, показывающие сходимость численного решения разностных задач к их точному решению.
Применение различных численных методов для решения дифференциальных уравнений приводит к системе линейных алгебраических уравнений специального вида - разностным уравнениям. Под разностной схемой понимают совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное уравнение и дополнительные условия исходной дифференциальной задачи.
Существует много различных численных методов для решения системы линейных алгебраических уравнений, они делятся на две группы: итерационные и прямые. В прямых методах решение у в системе уравнений Ау = f находится за конечное число арифметических действий. Итерационные методы состоят в том, что решение у находится как предел к ^ т последовательных приближений ук, где к - номер итерации. Как правило, за конечное число итераций этот предел не достигается. Обычно задается некоторое малое число г > 0 (точность) и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка ||у&+1 — уД| < г. Если новая итерация yk+1 вычисляется через т предыдущих итераций ук,у^_1, ...,ук-т+1, то итерационный метод называется (т + 1) - слойным. Отсюда видна аналогия итерационных схем с
разностными схемами для нестационарных задач. Поэтому и теория итерационных методов фактически является специальным разделом общей теории устойчивости операторно-разностных схем.
В настоящее время предложено множество численных методов решения разностных уравнений, большинство из них рассчитано на матрицы специального вида. Выбор того или иного метода для решения задачи зависит от некоторых факторов: число арифметических операций для получения решения, устойчивость по отношению к ошибкам округления и объем памяти ЭВМ для реализации численного алгоритма.
Одним из первых эффективных методов решения разностных задач был метод, разработанный Д. Писманом и Дж. Речфордом, получивший название метод переменных направлений [1-4]. Он основывается на разложении исходной пятидиагональной матрицы на сумму двух трехдиагональных, каждая из которых соответсвует аппроксимации второй производной и легко обращается методом прогонки. Эффективность метода, устанавливается в предположении, что матрицы самосопряженны и положительно определенны (не обязательно перестановочны).
Другой вариант метода переменных направлений - попеременно-треугольный метод (ПТМ), разработанный академиком А. А. Самарским [2-4]. Здесь матрица разбивается на сумму двух треугольных матриц, и реализация итерационных формул осуществляется по явным рекуррентным формулам. Модификация ПТМ, предложенная А. Б. Кучеровым и Е. С. Николаевым [5,6], позволяет ослабить зависимость числа итераций метода от экстремальных свойств коэффициентов дифференциального уравнения.
В данной работе рассматриваются два итерационных метода: метод переменных направлений и модифицированный попеременно-треугольный метод, для решения систем линейных алгебраических уравнений. Записываются разностные схемы для решения дифференциальных задач эллиптического типа с постоянными и переменными коэффициентами. На модельных задачах были произведены расчеты, показывающие сходимость численного решения разностных задач к их точному решению.
✅ Заключение
В данной работе была изучена общая теория метода переменных направлений и модифицированного попеременно-треугольного метода для решения систем линейных алгебраических уравнений. Построены разностные схемы второго порядка аппроксимации для решения краевой задачи эллиптического типа с постоянными коэффициентами и с переменными коэффициентами в прямоугольной области. Разработаны численные алгоритмы решения краевых задач методом переменных направлений и модифицированным попеременно-треугольным методом. На модельной задаче была показана сходимость решения разностных задач к их точному решению. Исследована зависимость числа итераций от размерности разностной сетки и в зависимости от экстремальных свойств коэффициентов ка(х), а = 1,2. Анализ проведенных расчетов показывает высокую эффективность метода переменных направлений для дифференциальной задачи с постоянными коэффициентами, модифицированный попеременно-треугольный метод эффективен для задачи с переменными коэффициентами.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.