📄Работа №180428
Тема: Некоторые случаи интегрируемости уравнения Левнера
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Математика
Объем:
19 листов
Год:
2025
Просмотров:
66
4700
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
1 Введение' 3
2 Двуугольник с разрезом, выходящим из вершины 7
3 Равнобедренный треугольник с разрезом, выходящим из вершины 12
4 Список литературы 15
2 Двуугольник с разрезом, выходящим из вершины 7
3 Равнобедренный треугольник с разрезом, выходящим из вершины 12
4 Список литературы 15
📖 Аннотация
В работе рассматриваются некоторые случаи интегрируемости уравнения Левнера. Актуальность исследования обусловлена фундаментальной проблемой конструктивного построения конформных отображений, необходимых для решения прикладных задач математической физики, поскольку классическая теорема Римана, гарантирующая существование таких отображений, не предоставляет методов их фактического нахождения. Методологической основой является параметрический метод П.П. Куфарева, в рамках которого искомое конформное отображение вкладывается в однопараметрическое семейство, удовлетворяющее уравнению Левнера и связанное с интегралом Кристоффеля-Шварца; это позволяет свести исходную задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для акцессорных параметров. В результате проведенного анализа получены явные решения уравнения Левнера для конкретных конфигураций, включая двуугольник с разрезом из вершины и равнобедренный треугольник с разрезом из вершины, что демонстрирует эффективность параметрического подхода в частных случаях. Практическая значимость результатов заключается в их применении для аналитического и численного определения параметров в формуле Кристоффеля-Шварца при решении задач гидродинамики, теории упругости и электродинамики. Обзор литературы показывает, что работа опирается на фундаментальные исследования в области геометрической теории функций и развивает существующие методы параметризации конформных отображений.
📖 Введение
ведение
Задача, построения конформного отображения одной одпосвязпой области на. другую - одна из основных в геометрической теории функций комплексного переменного. Существование такого отображения гарантируется теоремой Римана. Однако теорема Римана не дает конструктивного способа, получения гакого отображения. Ввиду сложности задачи универсального метода, построения отображения нет, существует ряд численных методов, а также методы, которые условно можно считать аналитическими: эти методы сводят задачу построения отображения к задаче решения некоторой системы уравнений, интегральной или дифференциальной. Развитие техники построения конформных отображений по-прежнему актуально ввиду наличия обширных приложений в различных задачах математической физики.
Для аналитического представления отображения канонической области (круг, полуплоскость) на многоугольник с границей, состоящей из отрезков прямых, используется формула Кристоффеля-Шварца [1].
Формула (1) содержит неизвестные, так называемые, акцессорные параметры а-[,...,ап, являющиеся прообразами вершин заданного многоугольника при искомом отображении.
Один из методов построения конформных отображений предложил Томский математик Павел Порфирьевич Куфарев [2]. При построении конформного отображения методом П.П. Куфарева искомое отображение f0 = /0(г) вкладывается в однонарамет- рическое семейство конформных отображений f = f(z,t) круга (или полуплоскости) на семейство областей, получаемое из некоторой односвязной области проведением разреза по отрезку прямой от некоторой точки границы внутрь области. Параметр t связан с длиной проводимого разреза, при этом акцессорные параметры семейства отображений гладко зависят от параметра t. Семейство отображений f можно записать с помощью формулы Кристоффеля-Шварца (которую можно рассматривать как дифференциальное уравнение для семейства f). С другой стороны, такое семейство отображений / удо-
3
влстворяст дифференциальному уравнению Левнера. Такая «переполненность» дифференциальными уравнениями семейства f позволяет полупить обыкновенные дифференциальные уравнения для параметров семейства.
Дифференциальное уравнение Левнера. ввел Карл Ловнер в своей статье 1923 года |3|. основав параметрический метод и доказав первый неэлемеитарный случай знаменитой гипотезы Бибербаха: если f однолистная функция, определенная на единичном круге в комплексной плоскости, с разложением в начале координат f(z) = - + Г]-2 _|_ С2-.2 , тогда |сп| / п для всех п > 1. Левиер доказал, что |с3| / 3.
Как известно, гипотеза Бибербаха была окончательно доказана Л. де Бранжем в 1985 г. В своем доказательстве Бранж опирается на идеи Левнера.
Первоначальное уравнение Левнера описывало семейство отображений единичного круга на семейство областей, получающееся проведением разреза в комплексной плоскости. Позже было получено уравнение Левнера для полуплоскости (3), (4) в [4] при рассмотрении композиции отображения полуплоскости на круг и отображения круга на область с разрезом, генерируемым радиальным уравнением Левнера и в [5] с помощью формулы Шварца. Уравнение Левнера для полуплоскости часто называют хордовым.
Теорема 2. Пусть f отображает П+ = {z 6 С : Im г > 0} на область /(t) и нормировано так, что композиция w(z,t} = /-1 (f(z, t),to) на бесконечности имеет разложение
co(z,t) = z + - ++ ..., z-^oo. (2
z zl
Тогда отображение f удовлетворяет уравнению Левнера
df(z,t) _ 1 df(z, t)
dt z — A(£) dz
Обратное отображение f 1 = g
Семейство отображений / можно параметризовать по-разному. Параметризация семейства, при которой в разложении (2) коэффициент при г-1 равен t, называется стандартной.
Уравнение Левнера содержит так называемую управляющую функцию — вещественную функцию Л = X(t), являющуюся прообразом подвижного конца разреза при рассматриваемом отображении, параметр t отвечает за длину проведенного разреза. Таким образом, семейство однолистных голоморфных отображений круга (полуплоскости) может быть параметризовано множеством вещественных функций, в том смысле, что каждому голоморфному однолистному отображению соответствует решение уравнение...
Задача, построения конформного отображения одной одпосвязпой области на. другую - одна из основных в геометрической теории функций комплексного переменного. Существование такого отображения гарантируется теоремой Римана. Однако теорема Римана не дает конструктивного способа, получения гакого отображения. Ввиду сложности задачи универсального метода, построения отображения нет, существует ряд численных методов, а также методы, которые условно можно считать аналитическими: эти методы сводят задачу построения отображения к задаче решения некоторой системы уравнений, интегральной или дифференциальной. Развитие техники построения конформных отображений по-прежнему актуально ввиду наличия обширных приложений в различных задачах математической физики.
Для аналитического представления отображения канонической области (круг, полуплоскость) на многоугольник с границей, состоящей из отрезков прямых, используется формула Кристоффеля-Шварца [1].
Формула (1) содержит неизвестные, так называемые, акцессорные параметры а-[,...,ап, являющиеся прообразами вершин заданного многоугольника при искомом отображении.
Один из методов построения конформных отображений предложил Томский математик Павел Порфирьевич Куфарев [2]. При построении конформного отображения методом П.П. Куфарева искомое отображение f0 = /0(г) вкладывается в однонарамет- рическое семейство конформных отображений f = f(z,t) круга (или полуплоскости) на семейство областей, получаемое из некоторой односвязной области проведением разреза по отрезку прямой от некоторой точки границы внутрь области. Параметр t связан с длиной проводимого разреза, при этом акцессорные параметры семейства отображений гладко зависят от параметра t. Семейство отображений f можно записать с помощью формулы Кристоффеля-Шварца (которую можно рассматривать как дифференциальное уравнение для семейства f). С другой стороны, такое семейство отображений / удо-
3
влстворяст дифференциальному уравнению Левнера. Такая «переполненность» дифференциальными уравнениями семейства f позволяет полупить обыкновенные дифференциальные уравнения для параметров семейства.
Дифференциальное уравнение Левнера. ввел Карл Ловнер в своей статье 1923 года |3|. основав параметрический метод и доказав первый неэлемеитарный случай знаменитой гипотезы Бибербаха: если f однолистная функция, определенная на единичном круге в комплексной плоскости, с разложением в начале координат f(z) = - + Г]-2 _|_ С2-.2 , тогда |сп| / п для всех п > 1. Левиер доказал, что |с3| / 3.
Как известно, гипотеза Бибербаха была окончательно доказана Л. де Бранжем в 1985 г. В своем доказательстве Бранж опирается на идеи Левнера.
Первоначальное уравнение Левнера описывало семейство отображений единичного круга на семейство областей, получающееся проведением разреза в комплексной плоскости. Позже было получено уравнение Левнера для полуплоскости (3), (4) в [4] при рассмотрении композиции отображения полуплоскости на круг и отображения круга на область с разрезом, генерируемым радиальным уравнением Левнера и в [5] с помощью формулы Шварца. Уравнение Левнера для полуплоскости часто называют хордовым.
Теорема 2. Пусть f отображает П+ = {z 6 С : Im г > 0} на область /(t) и нормировано так, что композиция w(z,t} = /-1 (f(z, t),to) на бесконечности имеет разложение
co(z,t) = z + - ++ ..., z-^oo. (2
z zl
Тогда отображение f удовлетворяет уравнению Левнера
df(z,t) _ 1 df(z, t)
dt z — A(£) dz
Обратное отображение f 1 = g
Семейство отображений / можно параметризовать по-разному. Параметризация семейства, при которой в разложении (2) коэффициент при г-1 равен t, называется стандартной.
Уравнение Левнера содержит так называемую управляющую функцию — вещественную функцию Л = X(t), являющуюся прообразом подвижного конца разреза при рассматриваемом отображении, параметр t отвечает за длину проведенного разреза. Таким образом, семейство однолистных голоморфных отображений круга (полуплоскости) может быть параметризовано множеством вещественных функций, в том смысле, что каждому голоморфному однолистному отображению соответствует решение уравнение...
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.