Введение 3
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 10
1.1. Вывод определения дробной производной. Свойства и
доказательства 10
1.2. Определение дробного интеграла и его вывод с учетом интегрального
уравнения Абеля 23
1.3. Интегральное уравнение с логарифмической особенностью 32
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА И ДРОБНО ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 42
2.1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения дробного
порядка. Задача с граничными условиями 42
2.2. Задача Абеля. Уравнение таутохроной кривой 50
2.3. Решение интегрального уравнения с логарифмической особенностью..56
Заключение 62
Библиографический список 64

Купить

Интегральное и дифференциальное исчисления являются хорошо изученными и применяемыми во многих областях естествознания, человеческой деятельности, физико-математических областях науками.
Целые и положительные дифференциальные операторы вида —, —, —. . .те их их являются хорошо известными как среди специалистов научного круга, так и среди студентов высших учебных заведений, когда-либо изучающих основы математического анализа.
Однако, если дифференциальные операторы указанного вида хорошо известны, известно область их применения в курсе аналитической, дифференциальной геометрии, математических основ физики и математического анализа в качестве средств нахождения частных, полных производных, изучения геодезических линий, кратчайших способов решения задач одномерной и многомерной задач Эйлера в области математической физики, то что будут представлять собой символы вида,—будут ли они являться дифференцированными операторами?
Для того, чтобы ответить на поставленный вопрос, можно ввести следующую замену: ~^екх — каекх, где а — любое вещественное число. В том случае, когда а натуральное, т.е. а — 1,2 ..., то мы получаем действие обыкновенной производной соответствующего целого порядка по экспоненте. Действие производной отрицательного порядка уже во времена становления математического анализа Ньютоном и Лейбницем рассматривалось в качестве обратного дифференцированию действия, т.е. в качестве неопределенного интеграла, т.к. неопределенный интеграл и производная обращают друг друга, отсюда: f (х ) d х — f ( х) .
Введенной нами ранее замене такие ученые, как А.А. Килбас, К.Б. Олдхам, И. Подлубный приписывали совершенно ясный результат, справедливый с точность до многочлена п — 1 с неопределенными коэффициентами интегрирования.Штрих, поставленный над знаком равенства, говорит о том, что коэффициенты интегрирования не известны.
Проблема исследования заключается в предоставлении точного и полного определения действия дробного интегрирования и дифференцирования, а также исследование этого действия с помощью практического решения проблемы.
Актуальность исследования заключается в том, что к настоящему этапу развития науки о дробном интегрировании и дифференцировании исследованы лишь некоторые положения и уравнения, среди которых выделяют уравнение Абеля, уравнения Римана-Лиувилля и уравнение Капуто.
Определения, описанные выше, удовлетворяют свойству линейной производной дробной производной. Это единственное свойство, унаследованное от первой производной по всем определениям. Тем не менее, ниже приведены некоторые из неудач данных определений: 
1. Определение производной Римана-Лиувилля не удовлетворяет D% ( 1 ) = 0 ( ( ( 1 ) ) = 0 для производной Капуто), если а не натуральное число;
2. Все дробные производные не удовлетворяют известной формуле производной произведения двух функций D % (f д) = f D % ( д) + д D % (f) ;
3. Все дробные производные не удовлетворяют известной формуле
gDg(f)-fDg(g) .
Все дробные производные не удовлетворяют правилу цепочки
Dg(f°g)(t) = fa(g(t))ga(t);
5. Все дробные производные не удовлетворяют D%D&f = D%+@f в общем;
6. Определение Капуто предполагает, что функция дифференцируема.
Мы же в своей работе постараемся ввести новое определение действия дробной производной и дробного интеграла с помощью доказательств их простейших свойств и решения уравнения.
Степень изученности проблемы. Впервые о возможности дробного интегрирования и дифференцирования упоминает Г.В. Лейбниц в своем письме Г.Ф. Лопиталю в 1695 г. Г.В. Лейбниц предлагает рассматривать дифференциалы и производные не только целого и положительного порядка, но и порядка - . В 1697 г. он пишет письме Д. Валлису и Я. Бернулли, в котором приводит формулу етх = кпетх, отмечая, что формула может иметь смысл и при нецелых Л. Эйлер также оказал влияние на создание дробного интегрирования и дифференцирования, введя гамма-функцию Г(У), которая стала выступать в качестве факториала для нецелых чисел. Он говорит о том, что вычисление производной от степенной функции можно проводить и при нецелом р, т.е. dn——хт = т(т — 1) ... (т — п + 1)хт п. ахп 
Гамма-функция для целого п будет следующая:
Немаловажное значение в теорию дробного дифференцирования и интегрирования внес Н.Х. Абель, которой в своей работе «Выдержка из механического задания для чистой и дополнительной математики» рассмотрел задачу о нахождении кривой, при скольжении по которой и под воздействием сил гравитации достижение нижней точки не зависит от положения начальной точки. При решении этой задачи Абель получил интегральное уравнение:
Левая часть представляет собой интеграл дробного порядка 1 — а, а решение этого уравнения представляет собой соответствующую дробную производную от правой части этого уравнения.
Несмотря на то, что ряд ученый оказал влияние на создание дробного интегрирование и дифференцирования, родоначальником теории выступает Ж. Лиувилль, который в 1832 г. предложил продифференцировать функции f (х) — И к=о скеакХ в виде ряда, В этой же самой работе Лиувилль получил формулу, которая теперь при исключении множителя называется лиувиллевской формулой дробного интегрирования, т.е. D~pf (х) — рГ(-р) /0°° Ф(х + t)tp~ 1dt, — оо < х < оо ,Rep > 0.
В 1847 г. Б. Риман с помощью рядов Тейлора получил формулу для дробного интегрирования D "" af(x)———j (х — t)а~1 f( t) d t . В этой формуле появляется дополнительная функция из-за того, что не был зафиксирован нижний предел интегрирования. 
Среди соотечественников к развитию подхода дробного интегрирования и дифференцирования приложили внимание А.В. Летников и И.А. Киприянов, последний из которых является основателем кафедры Дифференциальных уравнений факультета математического и прикладного анализа ВГУ и в 60-х годах прошлого века ввел специальный класс дробных производных для изучения теорем вложения функций с дробной гладкостью.
Как видно, существует не большое количество ученых, занимающихся изучением дробного интегрирования и дифференцирования. В своей работе мы выведем новую дробную производную для решения дробно дифференциальных и интегральных уравнений.
Цель исследования - ввести новую дробную производную для решения уравнения дробного дифференцирования и интегрирования.
Реализации поставленной цели способствуют следующие задачи:
1. Вывести определение дробной производной и доказать ее свойства;
2. Изучить и представить новое определение дробного интеграла;
3. Доказать практическое применение дробных производной и интеграла с помощью решения уравнений.
Объектом исследования являются дробно дифференциальные уравнения.
Предмет исследования - методы решения дифференциальных уравнений дробного порядка.
Гипотеза исследования состоит в том, что введение нового определения дробных производной и интеграла позволит не только систематизировать материал по данной теме, но и позволит решать дробно интегральные и дифференциальные уравнения более понятным способом с помощью введения приближенной функции.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в процессе работы был не только изучен теоретический материал по теме дробного интегрирования и дифференцирования, но и отобраны и классифицированы некоторые положения курса математического анализа, дифференциальной и аналитической геометрии, курса математической физики - такой рационализированный подход к отбору теоретического материала позволяет показать объективность и ясность введенного нового определения, а также его необходимость.
Практическая значимость диссертационной работы заключается в проведении опытно-экспериментальной работы, направленной на доказательство необходимости введения нового определения дробных производной и интеграла, что происходит с помощью приближения функции и решения интегральных уравнений. Кроме того, практическая значимость полностью прослеживается в необходимости введения нового определения дробных производных и интеграла, которые используются при решении прикладных задач биологии, физики, теории управления - некоторые прикладные задачи невозможно решить обычными аналитическими и численными способами, что приводит к необходимости введения новых математических объектов.
Новизна исследования полностью раскрывается в введении нового определения дробных производных и интеграла, с помощью которых доказываются свойства дробных производной и интеграла, строится приближение функции, а также приводится подробное решение интегральных уравнений, что не соответствует ранее изученной теории.
В своей диссертационной работе мы опираемся на некоторые труды ученых, которые легли в основу методологической базы исследования, а именно:
• Работа С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.И. Маричева, которая в полной мере раскрывает особенности становления теории дробного интегрирования и дифференцирования;
• Статья Н.Х. Абеля, посвященная получению решения интегрального уравнения при рассмотрении о нахождении кратчайшего пути, что легло в основу составления определения дробного интеграла;
• Книга И. Подлубного, описывающая свойства дробных интегралов и производных;
• Учебно-методическое пособие для вузов Л.Н. Ляхова и Э.Л. Шишкина, взятое в качестве базовой работы для изучения теории дробного дифференцирования и интегрирования.
Для достижения поставленной цели используются следующие теоретические и эмпирические методы исследования, как:
• Метод перехода от общего к частному, которые позволяет изучить не формулу дробного интеграла, как таковую, а показать адекватность введения тех или иных слагаемых, а также корректность и точность введения нового определения;
• Метод систематизации и классификации, с помощью которого отобраны необходимые базовые сведения для выведения нового определения, построения приближения функции, а также отбора теоретического материала;
• Частично-поисковый метод, заключающийся в поиске научных работ, статей, диссертаций, учебных пособий и т.п., их переводе на русский язык, а также составления полной методологической базы исследования;
• Проблемный, направленный на решение поставленной проблемы с помощью проведения опытно-экспериментальной работы.
Структура магистерской диссертационной работы включает в себя введение, 2 главы, 7 параграфов, заключение, список использованной литературы и приложения.

Купить