📄Работа №131070
Тема: Линейные алгебраические группы параболического типа
Тип работы
Магистерская диссертация
Предмет
математика
Объем:
25 листов
Год:
2018
Просмотров:
138
5600
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Введение 4
2. Постановка задачи 5
3. Основные обозначения 6
4. Корневые элементы и их действие 7
5. Группы параболического типа с абелевым унипотентным радикалом 10
6. Вспомогательные утверждения 10
7. Основной результат 14
8. Случай присоединённого представления 19
9. Обобщение на случай неабелева унипотентного радикала 20
10. Заключение 23
Список литературы 24
2. Постановка задачи 5
3. Основные обозначения 6
4. Корневые элементы и их действие 7
5. Группы параболического типа с абелевым унипотентным радикалом 10
6. Вспомогательные утверждения 10
7. Основной результат 14
8. Случай присоединённого представления 19
9. Обобщение на случай неабелева унипотентного радикала 20
10. Заключение 23
Список литературы 24
📖 Введение
Настоящая работа развивает структурную теорию линейных алгебраических групп над
кольцами. Нормальное строение групп точек редуктивных групп является одной из центральных тем всей структурной теории алгебраических групп на протяжение всего XX века, сотни работ посвящены этой теме. Не имея возможности детально описывать эти результаты, упомянем лишь некоторые наиболее значимые результаты. После первоначального прорыва Х. Басса [9], положившего начало изучению нормального строения линейных групп над общими кольцами, были получены классические результаты Дж. Вилсона
[26] и И. З. Голубчика [2] о классических группах над коммутативным кольцом и результат Э. Абе [6] о произвольных группах Шевалле.
Большой интерес представляет обобщение результатов о нормальном строении групп
Шевалле в двух направлениях. Во-первых, это задача описания подгрупп, нормализуемых
не всей группой или её элементарной подгруппой, а некоторыми меньшими подгруппами.
В частности, в работе А. В. Степанова [4] вводится понятие ”стандартного” расположения
подгрупп, нормализуемых некоторой фиксированной подгруппой. Ранние работы, относящиеся к нормальному строению, перечислены, к примеру, в обзорной части работ [8],
[24], [25], [14]. Из важных недавних работ, не попавших в данные обзоры, имеет смысл
отметить работы А. В. Степанова [23], [5], Р. Пройсера [18], А. К. Ставровой и А. В. Степанова [20].
Второе направление обобщения теории нормального строения заключается в изучении структурной теории нередуктивных групп. В этом направлении результатов, описывающих случай произвольного коммутативного кольца, в настоящее время известно не
так много. Нормальное строение параболических подгрупп в группах Шевалле изучается, к примеру, в работах [7], [19]. Одной из достаточно важных работ является работа
А. К. Ставровой [21], где приводится описание подгрупп максимальной параболической
группы, нормализуемых элементарной подгруппой Леви.
Настоящая работа посвящена переносу результатов работы [21] на более широкий класс
нередуктивных групп. Целью данной работы является описание нормального строения
некоторого класса нередуктивных групп, которые строятся на основе линейного представления редуктивной группы, и по своим свойствам сходны с классом параболических
подгрупп с абелевым унипотентным радикалом в группах Шевалле. Исследуемая задача
имеет весьма высокую научную значимость, о чём свидетельствуют многочисленные публикации с доказательствами различных теорем о нормальном строении линейных групп
над коммутативными кольцами.
Работа устроена следующим образом: во втором разделе изложены некоторые предпосылки к формулировке задачи, третий и четвёртый разделы содержат базовые опреде-
4ления и факты, необходимые для формулировки основного результата. В пятом разделе
вводится определение групп параболического типа с абелевым унипотентным радикалом.
Следующие два раздела содержат формулировку и доказательство основного результата
работы о нормальном строении групп параболического типа с абелевым унипотентным
радикалом. В восьмом разделе обсуждается существенное условие, возникающее в доказательстве основного результата, и влияние этого условия на расположение подгрупп,
нормализуемых элементарной. В последнем разделе работы даются предпосылки для возможного обобщения результатов о нормальном строении групп параболического типа с
абелевым унипотентным радикалом на группы параболического типа с неабелевым унипотентным радикалом.
кольцами. Нормальное строение групп точек редуктивных групп является одной из центральных тем всей структурной теории алгебраических групп на протяжение всего XX века, сотни работ посвящены этой теме. Не имея возможности детально описывать эти результаты, упомянем лишь некоторые наиболее значимые результаты. После первоначального прорыва Х. Басса [9], положившего начало изучению нормального строения линейных групп над общими кольцами, были получены классические результаты Дж. Вилсона
[26] и И. З. Голубчика [2] о классических группах над коммутативным кольцом и результат Э. Абе [6] о произвольных группах Шевалле.
Большой интерес представляет обобщение результатов о нормальном строении групп
Шевалле в двух направлениях. Во-первых, это задача описания подгрупп, нормализуемых
не всей группой или её элементарной подгруппой, а некоторыми меньшими подгруппами.
В частности, в работе А. В. Степанова [4] вводится понятие ”стандартного” расположения
подгрупп, нормализуемых некоторой фиксированной подгруппой. Ранние работы, относящиеся к нормальному строению, перечислены, к примеру, в обзорной части работ [8],
[24], [25], [14]. Из важных недавних работ, не попавших в данные обзоры, имеет смысл
отметить работы А. В. Степанова [23], [5], Р. Пройсера [18], А. К. Ставровой и А. В. Степанова [20].
Второе направление обобщения теории нормального строения заключается в изучении структурной теории нередуктивных групп. В этом направлении результатов, описывающих случай произвольного коммутативного кольца, в настоящее время известно не
так много. Нормальное строение параболических подгрупп в группах Шевалле изучается, к примеру, в работах [7], [19]. Одной из достаточно важных работ является работа
А. К. Ставровой [21], где приводится описание подгрупп максимальной параболической
группы, нормализуемых элементарной подгруппой Леви.
Настоящая работа посвящена переносу результатов работы [21] на более широкий класс
нередуктивных групп. Целью данной работы является описание нормального строения
некоторого класса нередуктивных групп, которые строятся на основе линейного представления редуктивной группы, и по своим свойствам сходны с классом параболических
подгрупп с абелевым унипотентным радикалом в группах Шевалле. Исследуемая задача
имеет весьма высокую научную значимость, о чём свидетельствуют многочисленные публикации с доказательствами различных теорем о нормальном строении линейных групп
над коммутативными кольцами.
Работа устроена следующим образом: во втором разделе изложены некоторые предпосылки к формулировке задачи, третий и четвёртый разделы содержат базовые опреде-
4ления и факты, необходимые для формулировки основного результата. В пятом разделе
вводится определение групп параболического типа с абелевым унипотентным радикалом.
Следующие два раздела содержат формулировку и доказательство основного результата
работы о нормальном строении групп параболического типа с абелевым унипотентным
радикалом. В восьмом разделе обсуждается существенное условие, возникающее в доказательстве основного результата, и влияние этого условия на расположение подгрупп,
нормализуемых элементарной. В последнем разделе работы даются предпосылки для возможного обобщения результатов о нормальном строении групп параболического типа с
абелевым унипотентным радикалом на группы параболического типа с неабелевым унипотентным радикалом.
✅ Заключение
В настоящей работе получено доказательство теоремы о нормальном строении линейных алгебраических групп параболического типа с абелевым унипотентным радикалом.
А именно, установлено, что при выполнении некоторых условий, касающихся решётки
весов, любая подгруппа, нормализуемая элементарной, распадается в полупрямое редуктивной части и унипотентной части. В исключительном случае, когда проекция старшего
веса на одну из неприводимых компонент системы корней совпадает с соответствующим
максимальным корнем, вычисления на решётках корней, положенные в основу доказательства, неприменимы, и в этом случае выполняется более слабое условие на подгруппы,
нормализуемые элементарной.
Также в работе сформулировано обобщающее понятие линейных алгебраических групп
параболического типа с унипотентным радикалом класса нильпотентности не более 2.
Описание нормального строения для данного класса групп является предметом дальнейших исследований. Также представляет интерес возможность дальнейшего обобщения результатов данной работы на аналогичные по строению нередуктивные группы с унипотентным радикалом более высокого класса нильпотентности.
А именно, установлено, что при выполнении некоторых условий, касающихся решётки
весов, любая подгруппа, нормализуемая элементарной, распадается в полупрямое редуктивной части и унипотентной части. В исключительном случае, когда проекция старшего
веса на одну из неприводимых компонент системы корней совпадает с соответствующим
максимальным корнем, вычисления на решётках корней, положенные в основу доказательства, неприменимы, и в этом случае выполняется более слабое условие на подгруппы,
нормализуемые элементарной.
Также в работе сформулировано обобщающее понятие линейных алгебраических групп
параболического типа с унипотентным радикалом класса нильпотентности не более 2.
Описание нормального строения для данного класса групп является предметом дальнейших исследований. Также представляет интерес возможность дальнейшего обобщения результатов данной работы на аналогичные по строению нередуктивные группы с унипотентным радикалом более высокого класса нильпотентности.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.