📄Работа №129828
Тема: Формула следа для дифференциального оператора на отрезке при возмущении младшего коэффициента конечным зарядом
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Математика
Объем:
31 листов
Год:
2017
Просмотров:
78
4650
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Введение 4
1. Формулировка результатов 8
2. Доказательство Теоремы 1.4 11
3. Доказательство Теоремы 1.5 19
4. Доказательство Теорем 1.1 и Теорем 1.2 28
5. Пример С <> 0 29
Список литературы 30
1. Формулировка результатов 8
2. Доказательство Теоремы 1.4 11
3. Доказательство Теоремы 1.5 19
4. Доказательство Теорем 1.1 и Теорем 1.2 28
5. Пример С <> 0 29
Список литературы 30
📖 Аннотация
Работа посвящена исследованию формулы регуляризованного следа для дифференциального оператора высокого порядка на отрезке, возмущенного конечным комплексным зарядом. Актуальность задачи обусловлена развитием спектральной теории сингулярных операторов, где классические результаты для гладких потенциалов неприменимы, а возмущения в виде зарядов представляют значительный теоретический интерес и расширяют класс исследуемых объектов. В рамках методологии, основанной на теории регулярных по Биркгофу граничных условий, в работе доказываются точные формулы для следа, обобщающие известный результат Гельфанда–Левитана на случай операторов произвольного порядка n ≥ 2 с сингулярными возмущениями. Полученные результаты конкретизируют и усиливают существующие теоремы, устанавливая явный вид регуляризованного следа через граничные значения усреднённых потенциалов и матрицы, построенные по коэффициентам граничных условий. Практическая значимость исследования заключается в применимости выводов в спектральном анализе дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами, а также в смежных областях математической физики и теории обратных задач. Результаты работы вносят вклад в общую теорию следов и могут быть использованы для дальнейшего изучения асимптотики спектра и качественных свойств решений соответствующих дифференциальных уравнений.
📖 Введение
Рассмотрим оператор L на отрезке [a; b], порождаемый дифферен-
циальным выражением порядка n ⩾ 2
ℓ = (-i)nDn +∑ k=0 n-2 pk(x)Dk
(здесь pk E L1(a; b) – комплекснозначные функции) и граничными условиями
(Pj (D)y)(a) + (Qj (D)y)(b) = 0; j = 0; . . . ; n -1, (1)
(Pj и Qj – полиномы степени меньше n с комплексными коэффициен-
тами). Обозначим через dj наибольшую из степеней Pj и Qj , aj и bj
– коэффициенты при степени dj у полиномов Pj и Qj соответственно
(таким образом, aj и bj не могут одновременно обращаться в нуль).
Будем считать систему граничных условий (1) нормированной (это
означает, что ∑ j=0 n-1 dj является минимальной среди всех систем гранич-
ных условий, которые могут быть получены из (1) невырожденными
линейными преобразованиями; см. [4, гл. II, x4], а также [10] в случае
более общей постановки).
Предположим, далее, что система (1) регулярна по Биркгофу (см.
[4, гл. II, x4]). Тогда оператор L имеет дискретный спектр1, который мы
будем обозначать {AN}∞ N =1 . В дальнейшем мы всегда будем нумеровать
собственные числа в порядке возрастания модулей с учетом кратности
(т.е. |AN| ⩽ |AN+1|).
Обозначим через Q оператор умножения на конечный (комплекс-
ный) заряд q (пространство таких зарядов будем обозначать M[a; b]).
Тогда оператор Lq = L + Q также имеет дискретный спектр, который
мы будем обозначать {AN (q)}∞ N =1 .
Нас будет интересовать регуляризованный след
S(q) := ∑ ∞ N =1 [AN (q) -AN -1/(b-a) ∫ b a q(dx)].
Не умаляя общности, в дальнейшем будем считать, что ∫ b a q(dx) = 0.
Впервые формула регуляризованного следа была получена в 1953
году И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном для задачи
-y′′+ q(x)y = Ay; y(0) = y(π) = 0: (2)
Именно, в работе [2] было показано, что при вещественной q(x) E C1[0; π]
справедливо соотношение
S(q) = - (q(0)+q(π))/4.
Статья [2] породила многочисленные усиления и обобщения. Обзор ре-
зультатов в задаче о вычислении регуляризированного следа можно
найти в статье В. А. Садовничего и В. Е. Подольского [9].
В недавней работе А. И. Назарова, Д. М. Столярова и П. Б. За-
тицкого [6] для произвольного n ⩾ 2 и регулярных граничных условий
была получена формула
S(q) = фa(a+)/2n * tr (A) + фb(b-)/2n *tr(B). (3)
в предположениях, являющихся сейчас стандартными2: q E L1(a; b), и
функции
фa(x) = 1/(x -a) ∫ x a q(t)dt, фb(x) = 1/(b-x) ∫ b x q(t)dt (4)
имеют ограниченную вариацию в точках a и b соответственно. В фор-
муле (3) A и B – матрицы, элементы которых выражаются через ко-
эффициенты aj и bj , j = 0; . . . ; n -1. Более того, в [6] было показано,
что в важном частном случае почти разделенных граничных усло-
вий множители tr (A) и tr (B) в (3) упрощаются и выражаются через
суммы степеней полиномов Pj и Qj .
Принципиально новый эффект был обнаружен уже в нашем веке
А. М. Савчуком и А. А. Шкаликовым [7, 8]. Именно, оказалось, что
если в задаче (2) q E M[0; π] – заряд, локально непрерывный в точках
0 и π, то
S(q) = - (q(0)+q(π))/4 -1/8 ∑ j h 2 j, (5)
где hj – скачки функции распределения заряда q (ряд S(q) в этом случае
суммируется методом средних).
Таким образом, при q 2 M[a; b] регуляризованный след перестает
быть линейным функционалом от q. Для #-потенциала этот эффект
был получен при некоторых других граничных условиях в работе [3].
В 2016 году было получен результат [1], продолживший работу А. М.
Савчука и А. А. Шкаликова, а именно, был доказан аналог формулы
(5) для произвольных регулярных граничных условий.
В настоящей работе мы приводим результат, обобщающий формулу
(3) на случай оператора L порядка n # 3 с произвольными регулярными
граничными условиями и q 2 M[a; b].
Статья организована следующим образом. В x1 сформулированы ос-
новной результат и несколько промежуточных утверждений. Эти утвер-
ждения доказываются в §§2-3. Главный результат работы доказан в
x4. В x5 приводится пример, подтверждающий принципиальную новиз-
ну исследуемого эффекта.
Введем некоторые обозначения. Полную вариацию заряда q обозна-
чим ∥q∥. Определим также функцию распределения
Q(x) = ∫ [a;x] q(dt):
Оператор, порожденный дифференциальным выражением l0 = (-i)nDn
и регулярными условиями (1), обозначим L0, а его собственные числа
– {A 0 N}∞ N=1.
Далее, G0(x; y; A) – функция Грина оператора L0 -A (см. [4, гл. I,
§3]). Заметим, что резольвента 1/(L0-A) - интегральный оператор с ядром
G0(x; y; #), и определим его след
Sp 1/ (L0 -A) = ∫ b a G0(x; x; A) dx.
Для произвольной функции #(#), определенной на комплексной плос-
кости C, введем функцию ~#(z) следующим образом:
~#(z) = #(#); где z = # 1 n ; Arg(z) 2 [0; 2# n ):
Напомним определение суммирования ряда методом средних (мето-
дом Чезаро порядка 1). Пусть Iℓ – последовательность частных сумм
ряда ∑ j aj . Ряд называется суммируемым методом средних, если суще-
ствует предел
(C; 1) - lim ℓ!1 Iℓ := (C; 1) - ∑ ∞ j=1 aj := lim k→∞ 1/k k∑ ℓ=1 Iℓ.
Все положительные константы, значения которых нам не важны,
обозначаются буквой C.
Спасибо А.И. Назарову за советы и поддержку.
циальным выражением порядка n ⩾ 2
ℓ = (-i)nDn +∑ k=0 n-2 pk(x)Dk
(здесь pk E L1(a; b) – комплекснозначные функции) и граничными условиями
(Pj (D)y)(a) + (Qj (D)y)(b) = 0; j = 0; . . . ; n -1, (1)
(Pj и Qj – полиномы степени меньше n с комплексными коэффициен-
тами). Обозначим через dj наибольшую из степеней Pj и Qj , aj и bj
– коэффициенты при степени dj у полиномов Pj и Qj соответственно
(таким образом, aj и bj не могут одновременно обращаться в нуль).
Будем считать систему граничных условий (1) нормированной (это
означает, что ∑ j=0 n-1 dj является минимальной среди всех систем гранич-
ных условий, которые могут быть получены из (1) невырожденными
линейными преобразованиями; см. [4, гл. II, x4], а также [10] в случае
более общей постановки).
Предположим, далее, что система (1) регулярна по Биркгофу (см.
[4, гл. II, x4]). Тогда оператор L имеет дискретный спектр1, который мы
будем обозначать {AN}∞ N =1 . В дальнейшем мы всегда будем нумеровать
собственные числа в порядке возрастания модулей с учетом кратности
(т.е. |AN| ⩽ |AN+1|).
Обозначим через Q оператор умножения на конечный (комплекс-
ный) заряд q (пространство таких зарядов будем обозначать M[a; b]).
Тогда оператор Lq = L + Q также имеет дискретный спектр, который
мы будем обозначать {AN (q)}∞ N =1 .
Нас будет интересовать регуляризованный след
S(q) := ∑ ∞ N =1 [AN (q) -AN -1/(b-a) ∫ b a q(dx)].
Не умаляя общности, в дальнейшем будем считать, что ∫ b a q(dx) = 0.
Впервые формула регуляризованного следа была получена в 1953
году И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном для задачи
-y′′+ q(x)y = Ay; y(0) = y(π) = 0: (2)
Именно, в работе [2] было показано, что при вещественной q(x) E C1[0; π]
справедливо соотношение
S(q) = - (q(0)+q(π))/4.
Статья [2] породила многочисленные усиления и обобщения. Обзор ре-
зультатов в задаче о вычислении регуляризированного следа можно
найти в статье В. А. Садовничего и В. Е. Подольского [9].
В недавней работе А. И. Назарова, Д. М. Столярова и П. Б. За-
тицкого [6] для произвольного n ⩾ 2 и регулярных граничных условий
была получена формула
S(q) = фa(a+)/2n * tr (A) + фb(b-)/2n *tr(B). (3)
в предположениях, являющихся сейчас стандартными2: q E L1(a; b), и
функции
фa(x) = 1/(x -a) ∫ x a q(t)dt, фb(x) = 1/(b-x) ∫ b x q(t)dt (4)
имеют ограниченную вариацию в точках a и b соответственно. В фор-
муле (3) A и B – матрицы, элементы которых выражаются через ко-
эффициенты aj и bj , j = 0; . . . ; n -1. Более того, в [6] было показано,
что в важном частном случае почти разделенных граничных усло-
вий множители tr (A) и tr (B) в (3) упрощаются и выражаются через
суммы степеней полиномов Pj и Qj .
Принципиально новый эффект был обнаружен уже в нашем веке
А. М. Савчуком и А. А. Шкаликовым [7, 8]. Именно, оказалось, что
если в задаче (2) q E M[0; π] – заряд, локально непрерывный в точках
0 и π, то
S(q) = - (q(0)+q(π))/4 -1/8 ∑ j h 2 j, (5)
где hj – скачки функции распределения заряда q (ряд S(q) в этом случае
суммируется методом средних).
Таким образом, при q 2 M[a; b] регуляризованный след перестает
быть линейным функционалом от q. Для #-потенциала этот эффект
был получен при некоторых других граничных условиях в работе [3].
В 2016 году было получен результат [1], продолживший работу А. М.
Савчука и А. А. Шкаликова, а именно, был доказан аналог формулы
(5) для произвольных регулярных граничных условий.
В настоящей работе мы приводим результат, обобщающий формулу
(3) на случай оператора L порядка n # 3 с произвольными регулярными
граничными условиями и q 2 M[a; b].
Статья организована следующим образом. В x1 сформулированы ос-
новной результат и несколько промежуточных утверждений. Эти утвер-
ждения доказываются в §§2-3. Главный результат работы доказан в
x4. В x5 приводится пример, подтверждающий принципиальную новиз-
ну исследуемого эффекта.
Введем некоторые обозначения. Полную вариацию заряда q обозна-
чим ∥q∥. Определим также функцию распределения
Q(x) = ∫ [a;x] q(dt):
Оператор, порожденный дифференциальным выражением l0 = (-i)nDn
и регулярными условиями (1), обозначим L0, а его собственные числа
– {A 0 N}∞ N=1.
Далее, G0(x; y; A) – функция Грина оператора L0 -A (см. [4, гл. I,
§3]). Заметим, что резольвента 1/(L0-A) - интегральный оператор с ядром
G0(x; y; #), и определим его след
Sp 1/ (L0 -A) = ∫ b a G0(x; x; A) dx.
Для произвольной функции #(#), определенной на комплексной плос-
кости C, введем функцию ~#(z) следующим образом:
~#(z) = #(#); где z = # 1 n ; Arg(z) 2 [0; 2# n ):
Напомним определение суммирования ряда методом средних (мето-
дом Чезаро порядка 1). Пусть Iℓ – последовательность частных сумм
ряда ∑ j aj . Ряд называется суммируемым методом средних, если суще-
ствует предел
(C; 1) - lim ℓ!1 Iℓ := (C; 1) - ∑ ∞ j=1 aj := lim k→∞ 1/k k∑ ℓ=1 Iℓ.
Все положительные константы, значения которых нам не важны,
обозначаются буквой C.
Спасибо А.И. Назарову за советы и поддержку.
✅ Заключение
В работе рассмотрена формула следа для дифференциального оператора на отрезке при возмущении младшего коэффициента конечным зарядом, доказаны соответствующие теоремы.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.