Помощь студентам в учебе
Метрика в пространствах кеплеровых орбит и ее использование в задачах астрономии
|
1 Введение 4
2 Субметрики 5
2.1 Критерий D1 5
2.2 Критерий D2 7
2.3 Критерий D3 8
3 Современные метрики 10
3.1 Метрика Q2 10
3.2 Метрики в фактор-пространствах 12
3.2.1 Фактор-пространство H/Q 12
3.2.2 Фактор-пространство Н/д ....................... 13
3.2.3 Фактор-пространство H/(Q, д) 14
3.3 Модельные примеры для метрик д2, Q3,д4, Q5 15
4 Фактор-пространство Н6 17
4.1 Метрика Q6
4.2 Модельные примеры для Q6 18
4.3 Алгоритм вычисления Q6 22
4.4 Неравенство треугольника для Q6 24
5 Расстояния между орбитами 27
5.1 Расстояния между орбитами планет Солнечной системы 27
5.2 Расстояния между орбитами астероидов 31
5.3 Челябинское тело 33
6 Средние Фреше в пространстве кеплеровских орбит 36
6.1 Среднее в метрике Q2 38
6.2 Средние в метриках @4 и д5 40
6.3 Среднее в метрике д3
7 Вычисление средних орбит и нахождение расстояний до них 45
7.1 Вычисление средних орбит 45
7.2 Вычисление расстояний с помощью метрики д647
8 Заключение 50
Список литературы
2 Субметрики 5
2.1 Критерий D1 5
2.2 Критерий D2 7
2.3 Критерий D3 8
3 Современные метрики 10
3.1 Метрика Q2 10
3.2 Метрики в фактор-пространствах 12
3.2.1 Фактор-пространство H/Q 12
3.2.2 Фактор-пространство Н/д ....................... 13
3.2.3 Фактор-пространство H/(Q, д) 14
3.3 Модельные примеры для метрик д2, Q3,д4, Q5 15
4 Фактор-пространство Н6 17
4.1 Метрика Q6
4.2 Модельные примеры для Q6 18
4.3 Алгоритм вычисления Q6 22
4.4 Неравенство треугольника для Q6 24
5 Расстояния между орбитами 27
5.1 Расстояния между орбитами планет Солнечной системы 27
5.2 Расстояния между орбитами астероидов 31
5.3 Челябинское тело 33
6 Средние Фреше в пространстве кеплеровских орбит 36
6.1 Среднее в метрике Q2 38
6.2 Средние в метриках @4 и д5 40
6.3 Среднее в метрике д3
7 Вычисление средних орбит и нахождение расстояний до них 45
7.1 Вычисление средних орбит 45
7.2 Вычисление расстояний с помощью метрики д647
8 Заключение 50
Список литературы
Настоящая дипломная работа посвящена исследованию свойств различных метрик и субметрик, их применению для вычисления расстояний между орбитами тел и нахождению средних орбит для множеств орбит.
Во многих областях астрономии требуется оценить схожесть кеплеровских орбит £s как точек в некотором 5-мерном пространстве орбит (положение на орбите мы опускаем, но направление движения по орбите учитываем). Данный критерий может быть полезен для следующего списка задач: нахождение тел на близких орбитах, имеющих общее происхождение, отождествление орбит комет и других объектов, наблюдаемых в разных прохождениях, поиск родительских тел метеорных потоков. Он неоднократно применялся в различных работах [10, 13, 14, 17, 18, 20,21, 22, 34,35,36,37,38]. Этой цели служит введение некоторой функции д(81, £2), задающей меру близости, причем критерием близости выступает неравенство
Значение £ зависит от рассматриваемой задачи. В идеале Qдолжно представлять собой некоторое расстояние, т.е. удовлетворять трем аксиомам метрического пространства |1.
1. Q(X-_,х2) > 0, причем Дх1,х2) = 0 тогда и только тогда, когда х1 = х2;
2. £»(xi,Х2) = g(x2,xi);
3. Дх1,х3) 6 Дх1,х2) + Дх2,х3) (аксиома треугольника).
С середины прошлого века до недавнего времени были известны только субметрики [3,4, 5, 6] (см. также обзор [10]), где субрасстояние Qудовлетворяет первым двум аксиомам, но не третьей: неравенство треугольника нарушается для некоторых троек орбит [13,14].
В 2004 году появилась и настоящая метрика [15], действующая в пространстве Н0 ограниченных орбит (эллиптических и прямолинейно-эллиптических). В приложениях же наибольший интерес представляют околопараболические орбиты. Поэтому вскоре были предложены метрики [16, 13, 14], действующие в пространстве И непрямолинейных орбит и в пространстве И* всех кеплеровых орбит. Соответствующие метрики индуцируются евклидовым расстоянием в пространствах R6и R7, в которые вкладываются 5-мерные пространства Ни И*. Эти метрики уже используются в задачах отождествления и поиска генетически связанных семейств небесных тел [14, 17, 19,20]. В 2010 г. Дж.Маруськин [21] предложил риманову метрику в пространстве Н0.
В данной работе исследуются метрики, полученные в [13, 14], с помощью них вычисляются расстояния между различными орбитами тел Солнечной системы. Приводится
метрика в новом фактор-пространстве [22], она применяется для вычисления расстояний между орбитами метеороидных потоков. Кроме этого, в работе метрики применются для нахождения средних орбит множеств, приводятся вычисления для конкретных примеров.
Во многих областях астрономии требуется оценить схожесть кеплеровских орбит £s как точек в некотором 5-мерном пространстве орбит (положение на орбите мы опускаем, но направление движения по орбите учитываем). Данный критерий может быть полезен для следующего списка задач: нахождение тел на близких орбитах, имеющих общее происхождение, отождествление орбит комет и других объектов, наблюдаемых в разных прохождениях, поиск родительских тел метеорных потоков. Он неоднократно применялся в различных работах [10, 13, 14, 17, 18, 20,21, 22, 34,35,36,37,38]. Этой цели служит введение некоторой функции д(81, £2), задающей меру близости, причем критерием близости выступает неравенство
Значение £ зависит от рассматриваемой задачи. В идеале Qдолжно представлять собой некоторое расстояние, т.е. удовлетворять трем аксиомам метрического пространства |1.
1. Q(X-_,х2) > 0, причем Дх1,х2) = 0 тогда и только тогда, когда х1 = х2;
2. £»(xi,Х2) = g(x2,xi);
3. Дх1,х3) 6 Дх1,х2) + Дх2,х3) (аксиома треугольника).
С середины прошлого века до недавнего времени были известны только субметрики [3,4, 5, 6] (см. также обзор [10]), где субрасстояние Qудовлетворяет первым двум аксиомам, но не третьей: неравенство треугольника нарушается для некоторых троек орбит [13,14].
В 2004 году появилась и настоящая метрика [15], действующая в пространстве Н0 ограниченных орбит (эллиптических и прямолинейно-эллиптических). В приложениях же наибольший интерес представляют околопараболические орбиты. Поэтому вскоре были предложены метрики [16, 13, 14], действующие в пространстве И непрямолинейных орбит и в пространстве И* всех кеплеровых орбит. Соответствующие метрики индуцируются евклидовым расстоянием в пространствах R6и R7, в которые вкладываются 5-мерные пространства Ни И*. Эти метрики уже используются в задачах отождествления и поиска генетически связанных семейств небесных тел [14, 17, 19,20]. В 2010 г. Дж.Маруськин [21] предложил риманову метрику в пространстве Н0.
В данной работе исследуются метрики, полученные в [13, 14], с помощью них вычисляются расстояния между различными орбитами тел Солнечной системы. Приводится
метрика в новом фактор-пространстве [22], она применяется для вычисления расстояний между орбитами метеороидных потоков. Кроме этого, в работе метрики применются для нахождения средних орбит множеств, приводятся вычисления для конкретных примеров.
Существует много различных критериев близости орбит небесных тел. В данной работе были рассмотрены некоторые из них. Так, например, были найдены и указаны недостатки критериев Саутворта-Хоккинза и Драммонда на примере вычислений расстояний между орбитами тел Солнечной системы.
Кроме неудачных критериев были исследованы метрики на пространстве кеплеровских орбит Q2 — Q5,которые оказались настоящими метриками, т.е. удовлетворяющими 3 аксиомам метрического пространства. После применения данных метрик к поиску расстояний между орбитами тел Солнечной системы были проверены свойства данных метрик и найдены объекты, с близкими орбитами, возможно являющимися одним объектом.
Был введен также новый критерий близости орбит Q6.Эта функция логически продолжает ряд Q2 — Q5метрик на пространстве кеплеровских орбит, построенных в предыдущих работах на данную тему. Однако, как показано в разделе 4.4 А, для Q6не выполняется неравенство треугольника на всем пространстве Н6. В то же время, построенный пример нарушения неравенства требует высоких значений эксцентриситетов орбит (более 6.3). Вопрос о том, будет ли Q6метрикой на множестве негиперболических орбит остается открытым. Кроме того, в разделах 4.4 Б и 4.4 В приведены два частных случая, в которых неравенство справедливо: 1) одна из трех орбит круговая, 2) долготы перицентров всех трех орбит одинаковы. К сожалению, в отличие от метрик Q2— Q5 вычисление значения Q6ПО заданным элементам пары орбит требует применения численных методов, поэтому в разделе 4.3 приведено краткое описание алгоритма решения этой задачи и дана ссылка на реализующую его программу, написанную в ходе данного исследования.
Рассмотренные в работе метрики полезны также для нахождения средних орбит метеороидных потоков — кеплеровских орбит, полученных усреднением орбит тел, составляющих изучаемую группу. В разделе 6 приведены формулы для вычисления средних орбит потоков, основанных на метриках дп. На основе данных формул были вычислены средние орбиты нескольких известных метеороидных комплексов и приведено сравнение их со средними орбитами, вычисленными как средние арифметические элементов. Оказалось, что различия бывают существенными, поэтому лучше все таки не использовать вычисление средних орбит, как среднее арифметическое, так как в разных системах элементов такие средние орбиты одного и того же семейства тел будут, вообще говоря, различны. Причина этого состоит в нелинейности преобразований перехода между системами элементов. Этого недостатка лишены средние орбиты, вычисленные способом, приведенным в данной работе.
В заключение отметим, что метрики в пространстве кеплеровских орбит оказываются полезны в различных задачах астрономии. Они помогают не только находить наименьшие расстояния между орбитами различных тел и делать выводы об их общем происхождении, но и служат полезным инструментом для получения средних орбит, лишенным недостатков при переходе между различными системами элементов.
Кроме неудачных критериев были исследованы метрики на пространстве кеплеровских орбит Q2 — Q5,которые оказались настоящими метриками, т.е. удовлетворяющими 3 аксиомам метрического пространства. После применения данных метрик к поиску расстояний между орбитами тел Солнечной системы были проверены свойства данных метрик и найдены объекты, с близкими орбитами, возможно являющимися одним объектом.
Был введен также новый критерий близости орбит Q6.Эта функция логически продолжает ряд Q2 — Q5метрик на пространстве кеплеровских орбит, построенных в предыдущих работах на данную тему. Однако, как показано в разделе 4.4 А, для Q6не выполняется неравенство треугольника на всем пространстве Н6. В то же время, построенный пример нарушения неравенства требует высоких значений эксцентриситетов орбит (более 6.3). Вопрос о том, будет ли Q6метрикой на множестве негиперболических орбит остается открытым. Кроме того, в разделах 4.4 Б и 4.4 В приведены два частных случая, в которых неравенство справедливо: 1) одна из трех орбит круговая, 2) долготы перицентров всех трех орбит одинаковы. К сожалению, в отличие от метрик Q2— Q5 вычисление значения Q6ПО заданным элементам пары орбит требует применения численных методов, поэтому в разделе 4.3 приведено краткое описание алгоритма решения этой задачи и дана ссылка на реализующую его программу, написанную в ходе данного исследования.
Рассмотренные в работе метрики полезны также для нахождения средних орбит метеороидных потоков — кеплеровских орбит, полученных усреднением орбит тел, составляющих изучаемую группу. В разделе 6 приведены формулы для вычисления средних орбит потоков, основанных на метриках дп. На основе данных формул были вычислены средние орбиты нескольких известных метеороидных комплексов и приведено сравнение их со средними орбитами, вычисленными как средние арифметические элементов. Оказалось, что различия бывают существенными, поэтому лучше все таки не использовать вычисление средних орбит, как среднее арифметическое, так как в разных системах элементов такие средние орбиты одного и того же семейства тел будут, вообще говоря, различны. Причина этого состоит в нелинейности преобразований перехода между системами элементов. Этого недостатка лишены средние орбиты, вычисленные способом, приведенным в данной работе.
В заключение отметим, что метрики в пространстве кеплеровских орбит оказываются полезны в различных задачах астрономии. Они помогают не только находить наименьшие расстояния между орбитами различных тел и делать выводы об их общем происхождении, но и служат полезным инструментом для получения средних орбит, лишенным недостатков при переходе между различными системами элементов.