Проективная геометрия представляет собой обобщение аффинной геометрии (причём проективное пространство — качественно новый вид многообразия, оно отлично от аффинного пространства). Подход к определению проективного пространства по схеме Вейля (через отображение векторов (п+1)-мерного векторного пространства в точки п- мерного проективного пространства) является удачным с той точки зрения, что естественным образом возникает понятие произвольной размерности п. Однако этот подход проигрывает в наглядности синтетическому подходу, основная идея которого — использовать классическую схему Гильберта, задавая свойства точек, прямых и плоскостей в трёхмерном проективном пространстве в качестве набора аксиом. В нормативном курсе геометрии физико-математического образования педагогического направления такой подход отсутствует, хотя он весьма полезен для решения задач элементарной геометрии методами проективной геометрии, а, следовательно, для внеклассной работы по математике со школьниками. В этом мы видим актуальность данной работы.
Цель работы: рассмотреть геометрию форм второй ступени (объектов, двойственных прямолинейным рядам точек) на проективной плоскости и в трёхмерном проективном пространстве.
Объект исследования: трёхмерное проективное пространство.
Предмет исследования: проективные формы второй ступени.
Задачи работы: исследовать геометрию форм второй ступени методом проективных преобразований, исходя из синтетического подхода к понятиям проективной геометрии.
Структура работы: ВКР состоит из введения, 2-х глав, 11-ти параграфов и заключения; содержит 28 чертежей; приведены решения восьми задач (одна из них решена двумя способами).
Проективно соответствующими называются два прямолинейных ряда точек, если любым четырём гармоническим точкам одного из них соответствуют также четыре гармонические точки второго ряда. Аналогично определяется проективное соответствие пучков прямых. На основе этих понятий и возникает проективный способ образования линий. Так, если имеются два проективных пучка прямых, то геометрическое место точек пересечения соответствующих прямых этих пучков представляет собой кривую второго порядка (рис. 1, а).
Точно так же, если заданы два проективно связанных прямолинейных ряда точек, то огибающая прямых, проходящих через соответствующие точки этих рядов, будет представлять собой кривую второго класса и одновременно второго порядка.
На кривой второго порядка могут быть в свою очередь определены гармонические четвёрки точек, т.е. точки пересечения этой кривой с четырьмя гармонически сопряжёнными лучами пучка прямых, центр которого находится в какой-либо точке этой кривой. Так возникает понятие криволинейного проективного ряда, который в отличие от прямолинейного ряда называется проективным рядом второго порядка. Аналогично устанавливается понятие пучка второго порядка, под которым понимают упомянутую выше совокупность прямых, проходящих через соответствующие точки двух прямолинейных проективных рядов и огибающих кривую второго порядка.
Понятие ряда второго порядка и пучка второго порядка позволяет определить проективным способом алгебраические кривые высших порядков и классов.
Частным случаем проективного соответствия является перспективное соответствие, которое осуществляется путём проектирования двух плоских систем из общего центра. Соответствующие точки при этом лежат на одном проектирующем луче. а соответствующие прямые принадлежат одной проектирующей плоскости.
Способом проектирования могут быть получены многие из часто встречающихся кривых. Сюда относится циклоида, являющаяся параллельной проекцией винтовой линии на плоскость, параллельную её оси. Спираль Архимеда может быть определена как проекция конической винтовой линии на плоскость, перпендикулярную её оси. Овалы Декарта могут быть определены как проекции линии пересечения двух конических поверхностей с параллельными осями на плоскость, перпендикулярную к этим осям, и т.д.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
