Построение решений интегральных уравнений с частными интегралами

Введение 3
Глава 1. Метод последовательных приближений 6
1.1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром 6
1.2. Повторные ядра. Резольвента 10
1.3. Интегральные уравнения Вольтера 14
Глава 2. Теоремы Фредгольма 17
2.1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром 17
2.2. Теорема Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным
ядром 20
2.3. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным
ядром 24
2.4. Следствия из теорем Фредгольма 29
Глава 3. Уравнения с частными интегралами 32
3.1. Интегральные уравнения в трехмерном пространстве 32
3.2. Решение интегральных уравнений в резольвентах 36
3.3. Формула решения задачи Гурса 43
Заключение 45
Список литературы
Купить

Интегральными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла.
Многие задачи математической физики сводятся к линейным интегральным уравнениям вида
£(х,у>(у)ф = /(х),
относительно неизвестной функции <р(х) в области G с Rn. Уравнения (1.1) и
(1.2) называются интегральными уравнениями Фредгольма первого и второго родов соответственно. Известные функции К{х, у) и Дх) называются соответственно ядром и свободным членом интегрального уравнения; 2 - комплексный параметр.
Интегральные уравнения Фредгольма первого рода здесь рассматриваться не будут.
Интегральное уравнение (1.2) при f = О
<Р(Х) = (1-3)
называются однородным интегральным уравнением Фредгольма второго рода, соответствующим уравнению (1.2). Интегральные уравнения Фредгольма второго рода
<КХ) = (Х>У№(УМУ + g(xl (1.2’)
<КХ) =У^У^У , (1-3’)
где Х?*(х, у)=К(х, у), называются союзными к уравнениям (1.2) и (1.3) соответственно. Ядро А) (х, у) называются эрмитово сопряженным (союзным) ядром к ядру К(х, у).
Мы будем записывать интегральные уравнения (1.2), (1.3), (1.2’) и (1.3’) сокращенно, в операторной форме:
(р = лК(р + /, (р = 2К(р,
I ф = лК* + g, ф = ЛК*ф,
где интегральные операторы К и К* определяются ядрами К(х, у) и К*(х, у) соответственно:
(ДЛО) = K(x,y)f(y)dy, (K*f)(x) =f K*(x,y)f(y)dy.
JU J(j
К интегральным операторам и уравнениям применимы все определения и факты. Кроме того, оказывается полезным следующее определение: комплексное значение Л, при котором однородное интегральное уравнение (1.3) имеет ненулевые решения из LfjG),называется характеристическим числомядра К(х, у), а соответствующие решения — собственными функциями этого ядра, отвечающими этому характеристическому числу. Таким образом, характеристические числа ядра К(х, у) и собственные значения оператора К взаимно обратны, а их собственные функции совпадают.
Актуальность исследования. В настоящее время большую роль играет математическое моделирование. Большинство процессов описывается с помощью дифференциальных и интегральных уравнений, поэтому изучение приложений интегральных уравнений является важной задачей.
Цель исследования: изучение некоторых приложений интегральных уравнений Фредгольма.
Задачи:
I -рассмотреть и изучить интегральные уравнения и их приложения;
-показать решение задачи Гурса;
-использовать основы теории интегральных уравнений. 
Объект исследования: интегральные уравнения Фредгольма.
Предмет исследования: некоторые приложения интегральных уравнений Фредгольма.
Методы исследования: используются общие методы теории интегральных уравнений.
Значимость работы:
-рассмотрены основы теории интегральных уравнений и их приложения; -выведены преобразования интегральных уравнений Фредгольма;
-использованы формулы решений задачи Гурса.
Структура и объем работы: ВКР состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 46 страницах, включая формулы. Список литературы содержит 11 наименований.

Купить