ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМИ ЯДРАМИ 5
1.1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ЭРМИТОВЫМ НЕПРЕРЫВНЫМ ЯДРОМ . 5
1.2 ЛЕММА АРЧЕЛА-АСКОЛИ 7
1.3 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ НЕПРЕРЫВНЫМ ЯДРОМ .. 9
1.4 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ПОЛЯРНЫМ ЯДРОМ 12
ГЛАВА 2 ТЕОРЕМЫ ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА И ИХ СЛЕДСТВИЯ 15
2.1 ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА ДЛЯ ЭРМИТОВА НЕПРЕРЫВНОГО ЯДРА 15
2.2 БИЛИНЕЙНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПОВТОРНЫХ ЯДЕР 19
2.3 БИЛИНЕЙНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЭРМИТОВА НЕПРЕРЫВНОГО ЯДРА 21
2.4 РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С
ЭРМИТОВЫМНЕПРЕРЫВНЫМ ЯДРОМ 22
2.5 ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЯДРА 25
2.6 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРИИ ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА НА ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ЭРМИТОВЫМ ПОЛЯРНЫМ ЯДРОМ 27
ГЛАВА 3 ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 29
3.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 29
3.2 ФОРМУЛЫ ГРИНА 30
3.3 СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА
3.4 СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРА
ГЛАВА 4 ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ 35
4.1 ФУНКЦИЯ ГРИНА 36
4.2 СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ
УРАВНЕНИЮ 40
4.3. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 42
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМИ ЯДРАМИ 5
1.1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ЭРМИТОВЫМ НЕПРЕРЫВНЫМ ЯДРОМ . 5
1.2 ЛЕММА АРЧЕЛА-АСКОЛИ 7
1.3 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ НЕПРЕРЫВНЫМ ЯДРОМ .. 9
1.4 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ПОЛЯРНЫМ ЯДРОМ 12
ГЛАВА 2 ТЕОРЕМЫ ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА И ИХ СЛЕДСТВИЯ 15
2.1 ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА ДЛЯ ЭРМИТОВА НЕПРЕРЫВНОГО ЯДРА 15
2.2 БИЛИНЕЙНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПОВТОРНЫХ ЯДЕР 19
2.3 БИЛИНЕЙНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЭРМИТОВА НЕПРЕРЫВНОГО ЯДРА 21
2.4 РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С
ЭРМИТОВЫМНЕПРЕРЫВНЫМ ЯДРОМ 22
2.5 ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЯДРА 25
2.6 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРИИ ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА НА ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ПОЛЯРНЫМ ЯДРОМ 27
ГЛАВА 3 ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 29
3.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 29
3.2 ФОРМУЛЫ ГРИНА 30
3.3 СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА
ГЛАВА 4. ЗАДАЧА ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Купить

Интегральными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла.
Многие задачи математической физики сводятся к линейным интегральным уравнениям вида
J K (x, y)py)dy = f( x), (1)
G
G
относительно неизвестной функции (p(x)в области G QR" . Уравнения (1) и (2) называются интегральными уравнениями Фредгольма первого и второго родов соответственно. Известные функции K(X, у) и f (x)называются ядром и свободным членом интегрального уравнения; Я- комплексный параметр.
В дипломной работе методом интегральных уравнений доказывается хорошо известная теорема В.А. Стеклова
Плодотворной и многогранной была жизнь В.А. Стеклова. Характерной чертой его научного творчества было объединение глубоких теоретических исследований с практическим применением математических методов к естествознанию. Наиболее важные результаты В.А. Стеклов получил в математический физике. Большинство работ В.А. Стеклова относится к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Он впервые дал строгое обоснование метода Фурье решения смешанной задачи для уравнения колебания неоднородной струны и охлаждения неоднородного твердого стержня. В.А.Стеклов построил асимптотические выражения для собственных функций задачи Штурма-Лиувилля и для разложения произвольной функции по собственным функциям получил те же общие условия разложимости, что и для обычного тригонометрического ряда Фурье.
Целью ВКР является доказательство теоремы Стеклова
Задачи исследования:
- изучить теорию интегральных уравнений;
- рассмотреть задачи на собственные значения и задачу Штурма- Лиувилля.
Методы исследования: изучение теории интегральных уравнений
Объект исследования: краевые задачи
Предмет исследования: задача Штурма - Лиувилля
Структура и объём работы. ВКР состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 46 страницах. В списке литературы содержится 10 наименований

Купить