Введение 4
Обзор литературы 8
Основные цели и задачи 10
1. Игры с непрерывной функцией распределения случайного момента окончания игры 11
1.1. Описание игры Гт(x0,to,Tf) 11
1.2. Кооперативный вариант игры Гт(x0,t0,Tf) 14
1.3. Устойчивая кооперация в игре Гт(x0,t0,Tf) 15
1.4. Сильно-динамически устойчивое C-ядро в игре Гт(x0,t0,Tf) 18
2. Игры с разрывной функцией распределения случайного
момента окончания игры. Случай одного разрыва первого рода 20
2.1. Описание игры Гт(x0,t0,Tf,t1,p) 20
2.2. Кооперативный вариант игры Гт(x0,t0,Tf ,t1,p) 23
2.3. Устойчивая кооперация в игре Гт(x0,t0,Tf ,t1,p) 24
2.4. Пример игры разработки невозобновляемых ресурсов .... 27
2.5. Сильно-динамически устойчивое C -ядро в игре
ГТ (X0;t0;Tf ;t1;P) 33
3. Игры с разрывной функцией распределения
случайного момента окончания игры. Обобщение. Случай m разрывов первого рода 37
3.1. Описание игры Гт(x0, t0,Tf, {С}™0, {pi}'?’0) 37
3.2. Кооперативный вариант игры
Гт(X0;t0,Tf; 4 } >}
3.3. Устойчивая кооперация в игре
Гт(X0;t0,Tf; {tiy^i;{Pi}m=i) 41
3.4. Сильно-динамически устойчивое C -ядро в игре
rT (x0;t0,Tf; '{li^i"' 1, {Pi}i1) 44
4. Игры с дискретной функцией распределения случайного момента окончания игры 48
T mm
4.1. ОПИСАНИЕ игры 1 discrete (x0; О ;Tf; {ti}i=1; {pi}i=1) 48
4.2. Кооперативный вариант игры
rTiscrete(x0,t0,Tf, {ti}i=i, {Pi}i=1) 50
4.3. Устойчивая кооперация в игре
rTiscrete(X0;t0; Tf; {ti}m=1; {Pi}m=1 50
4.4. Пример игры разработки невозобновляемых ресурсов .... 53
4.5. Сильно-динамически устойчивое C-ядро в игре
rTiscrete(X0;t0;Tf; {ti}n=1; {Pi}n=1) 59
Выводы 62
Список литературы
Современная математическая теория игр ставит перед собой задачи
моделирования, исследования и анализа различных конфликтно - управляемых процессов. Особый интерес вызывают процессы развивающиеся во
времени. Дифференциальные игры позволяют описывать такие динамические процессы при наличии конфликта управляющих агентов. Актуальность данной области исследования подтверждается широким спектром
приложений: экономика, экология, финансы, менеджмент и другие сферы
человеческой деятельности.
Многие экономические и экологические приложения теории игр отличаются неагрессивным характером поведением контрагентов, что подталкивает к использованию кооперативного подхода при моделировании.
При некооперативном сценарии принято рассматривать игры в нормальной форме (см., например, [6]): задается множество игроков, множество стратегий игроков и функция выигрыша для каждого игрока, являющаяся отображением из множества всех возможных профилей стратегий на
числовое множество. Перед каждым из игроков стоит задача максимизации
собственного выигрыша путем выбора оптимальной стратегии, учитывая
возможный выбор стратегий другими игроками, что отражает конфликт
интересов участников процесса. Основной задачей некооперативной теории
игр является нахождение пути разрешения данного конфликта: нахождение оптимальных стратегий игроков.
При кооперативном сценарии все игроки перед началом игры договариваются действовать совместно оптимально — договариваются выбирать
стратегии, максимизирующие суммарный выигрыш всех игроков. Такая
постановка упрощает процесс поиска оптимального профиля стратегий,
так как пропадает конфликт между игроками на этапе выбора стратегий.
В кооперативной постановке игры конфликт возникает на этапе справедливого разделения суммарного выигрыша между агентами: выбор принципа
оптимальности (или, как принято писать в англоязычной литературе «кооперативного решения»), который будет определять вектор дележа между
игроками.
Следует отметить, что здесь и ниже мы будем говорить об играх
с трансферабельной полезностью: выигрыш каждого игрока может быть
нормирован в денежном эквиваленте, что позволяет нам говорить о воз-
4можности складывать и делить выигрыш между игроками.
Наиболее часто в моделях игр с трансферабельной полезностью используют такие принципы оптимальности как вектор Шепли, C-ядро, Nядро, NM-решение. Это связно с тем, что в основе каждого из перечисленных решений лежит идея, позволяющая легко интерпретировать результат
с прикладной точки зрения. Так, например, вектор Шепли представляет
собой дележ, согласно которому каждый игрок получает часть выигрыша пропорциональную его ожидаемому вкладу в коалицию. При этом вектор Шепли всегда существует и единственен. C-ядро является коалиционно-устойчивым, но может быть пустым.
В выпускной квалификационной работе магистра были рассмотрены новые модификации кооперативных игр со случайной продолжительностью. А именно, были рассмотрены обобщения непрерывной функции
распределения момента окончания игры на случай одного или нескольких
разрывов первого рода и случай дискретной случайной величины моменты
окончания игры.
Для каждой модели была сделана постановка задачи динамической
устойчивости выбранного принципа оптимальности и представлено ее решение в виде теорем.
Также для каждого варианта игры была поставлена задача сильной
динамической устойчивости С-ядра и доказана конструктивная теорема,
являющаяся достаточным условием сильной динамической устойчивости
С-ядра.
Полученные результаты несут в основном теоретический характер,
но при этом могут быть использованы в приложениях к теории дифференциальных игр со случайным моментом окончания. В качестве примеров в
работе была рассмотрена игра разработки невозобновляемых ресурсов для
случая разрыва первого рода и дискретного распределения момента окончания игры. В примере было продемонстрировано применение разработанного в ВКР аппарата построения системы выплат во времени, решающей
проблему нереализуемости дележа во времени.
Таким образом, все поставленные цели и задачи были выполнены.
Автор планирует в дальнейшем продолжить работу над рассматриваемыми темами в аспирантуре, развивая данную теорию в новых направлениях.
Так в дальнейшем планируется рассмотреть задачи в гибридной постановке, с использованием гибридного принципа максимума, модели игр
со случайным моментом начала и со случайными моментами начала и окончания одновр
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
