Тема: МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

Актуальность исследования. Дифференциальные уравнения в частных производных, которые встречаются при решении физических задач, называют также уравнениями математической физики.
Одним из основных уравнений математической физики является волновое уравнение
д2и о д2и д2и д2и
= и 1 1
dt2дх2 ду2dz2’
где и = и(х, у, z, t) — неизвестная функция, x,y,z — пространственные координаты, t — время, а — постоянный параметр.
Волновое уравнение имеет широкое применение. В частности, одномерное волновое уравнение описывает колебания струны, двумерное — колебания мембраны.
В данной работе мы остановимся только на уравнении колебаний струны.
д2и 2 д2и
dt2 а дх2
Оно впервые появилось почти одновременно в работах Даниила Бернулли (1700 - 1782), Жана Лерона Даламбера (1717 - 1783) и Леонарда Эйлера (1707 - 1783), позднее — в работах Жана Батиста Фурье (1768 - 1830).
Бернулли получил решение уравнения в виде тригонометрического ряда, Даламбер и Эйлер представили решение в виде прямой и обратной волн, перемещающихся со скоростью а, что и дало название уравнению. Фурье показал эквивалентность этих двух решений.
В данном исследовании излагаются классические методы решения уравнения свободных колебаний струны: метод Даламбера для бесконечной струны, метод продолжений для полубесконечной и конечной струны.
Уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического типа. Каждую точку струны можно охарактеризовать значением ее абсциссы х. Для определения положения струны в момент времени tдостаточно знать компоненты вектора смещения точки х щ x,t ,и2x,t ,и3x,tв момент времени t.
Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости (х, и) и что вектор смещения и перпендикулярен в любой момент времени к оси х; тогда процесс колебания можно описать одной функцией u(x,t).
Функция и(х,t) характеризует вертикальное перемещение струны.
д2и д2и
T7V = а' т-? — уравнение колебаний струны.
ох£
a=const-зависит от упругости, жесткости, массы и т. д.
Существуют следующие методы решения уравнения колебаний струны:
- Метод Даламбера (метод распространяющихся волн);
- Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных).
В данной работе мы рассмотрим первый метод - метод распространяющихся волн.
Цель исследования: решение физических задач методом распространяющихся волн для уравнения колебаний струны.
Задачи:
- рассмотреть и изучить метод распространяющихся волн;
решить различные начальные и краевые задачи с помощью данного метода.
Объект исследования: гиперболические уравнения с частными производными.
Предмет исследования: уравнение колебаний струны.
Методы исследования: метод Фурье, другие методы математического анализа..
Научная новизна: изложен метод распространения волн (метод Даламбера) для уравнений колебания струны.
Значимость работы:
- изложены основы метода распространения волн (метода Даламбера);
- приведены примеры решения задач для различных видов струн.
Структура и объём работы. ВКР состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 48 страницах, включая формулы и рисунки. Список литературы содержит 10 наименований.

Купить

В данной работе был рассмотрен и изучен метод распространяющихся волн для уравнений колебаний струны. Помимо этого, были рассмотрены примеры решения задач для различных видов струн и стержней.
В первой главе мы познакомились с формулой Даламбера, ее физической интерпретацией, неоднородными уравнениями, устойчивостью решений, с полуограниченной прямой, задачами для ограниченного отрезка и методом продолжений, а также дисперсией волн.
Во второй главе подробно рассмотрели решение задач с помощью метода распространяющихся волн. А именно:
- задачи для бесконечной струны;
- задачи для полупрямой;
- задачи для бесконечной прямой, составленной из двух однородных полупрямых, сосредоточенные факторы;
- задачи для конечного отрезка.

Купить