ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 6
§1. Формула Даламбера 6
§2. Физическая интерпретация 8
§3. Неоднородное уравнение 14
§4. Устойчивость решений 16
§5. Полуограниченная прямая и метод продолжений 19
§6. Задачи для ограниченного отрезка 27
§7. Дисперсия волн 31
ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА
РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 34
§8. Задачи для бесконечной струны 35
§9. Задачи для полупрямой 39
§10. Задачи для бесконечной прямой, составленной из двух однородных
полупрямых. Сосредоточенные факторы 43
§11. Задачи для конечного отрезка 46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 49
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Купить

Актуальность исследования. Дифференциальные уравнения в частных производных, которые встречаются при решении физических задач, называют также уравнениями математической физики.
Одним из основных уравнений математической физики является волновое уравнение
д2и о д2и д2и д2и
= и 1 1
dt2дх2 ду2dz2’
где и = и(х, у, z, t) — неизвестная функция, x,y,z — пространственные координаты, t — время, а — постоянный параметр.
Волновое уравнение имеет широкое применение. В частности, одномерное волновое уравнение описывает колебания струны, двумерное — колебания мембраны.
В данной работе мы остановимся только на уравнении колебаний струны.
д2и 2 д2и
dt2 а дх2
Оно впервые появилось почти одновременно в работах Даниила Бернулли (1700 - 1782), Жана Лерона Даламбера (1717 - 1783) и Леонарда Эйлера (1707 - 1783), позднее — в работах Жана Батиста Фурье (1768 - 1830).
Бернулли получил решение уравнения в виде тригонометрического ряда, Даламбер и Эйлер представили решение в виде прямой и обратной волн, перемещающихся со скоростью а, что и дало название уравнению. Фурье показал эквивалентность этих двух решений.
В данном исследовании излагаются классические методы решения уравнения свободных колебаний струны: метод Даламбера для бесконечной струны, метод продолжений для полубесконечной и конечной струны.
Уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического типа. Каждую точку струны можно охарактеризовать значением ее абсциссы х. Для определения положения струны в момент времени tдостаточно знать компоненты вектора смещения точки х щ x,t ,и2x,t ,и3x,tв момент времени t.
Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости (х, и) и что вектор смещения и перпендикулярен в любой момент времени к оси х; тогда процесс колебания можно описать одной функцией u(x,t).
Функция и(х,t) характеризует вертикальное перемещение струны.
д2и д2и
T7V = а' т-? — уравнение колебаний струны.
ох£
a=const-зависит от упругости, жесткости, массы и т. д.
Существуют следующие методы решения уравнения колебаний струны:
- Метод Даламбера (метод распространяющихся волн);
- Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных).
В данной работе мы рассмотрим первый метод - метод распространяющихся волн.
Цель исследования: решение физических задач методом распространяющихся волн для уравнения колебаний струны.
Задачи:
- рассмотреть и изучить метод распространяющихся волн;
решить различные начальные и краевые задачи с помощью данного метода.
Объект исследования: гиперболические уравнения с частными производными.
Предмет исследования: уравнение колебаний струны.
Методы исследования: метод Фурье, другие методы математического анализа..
Научная новизна: изложен метод распространения волн (метод Даламбера) для уравнений колебания струны.
Значимость работы:
- изложены основы метода распространения волн (метода Даламбера);
- приведены примеры решения задач для различных видов струн.
Структура и объём работы. ВКР состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 48 страницах, включая формулы и рисунки. Список литературы содержит 10 наименований.

Купить