АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОНЯТИЙ 5
ГЛАВА 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 7
§1. Понятие числового поля 7
§2. Определение алгебраического числа 9
§3. Поле алгебраических чисел 15
§4. Целые алгебраические числа 19
§5. Примеры алгебраических чисел 21
§6. Строение простого алгебраического расширения поля 22
§7. Освобождение от алгебраической иррациональности при помощи алгоритма Евклида 23
§8. Освобождение от алгебраической иррациональности при помощи симметрических многочленов 24
§9. Построение примеров на освобождение от алгебраической
иррациональности в знаменателе дроби 26
ГЛАВА 3. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА 28
§1. Теорема Лиувилля 28
§2. Трансцендентные числа 34
§3. Доказательство существования трансцендентных чисел 35
§4. Исследования трансцендентности 38
§5. Результаты Гельфонда 41
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 44
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Купить

Актуальность исследования. Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности. Развиваясь в дальнейшем, математика перешла к более сложным вопросам, одним из которых стал вопрос теории чисел об алгебраических и трансцендентных числах. Эта теория более молодая и не так развита, как другие теории математики. Однако появление этой теории позволило решить некоторые неразрешимые до этого вопросы математики; теория получила достаточно широкое практическое применение. Этот факт и послужил основанием для выбора темой выпускной квалификационной работы следующую - «Алгебраические числа».
Алгебраические числа - корни многочленов с рациональными коэффициентами. Решение алгебраических уравнений составляет традиционный раздел математики, в том числе и школьной. Достаточно трудным часто является ответ на вопрос: является ли заданное число корнем алгебраического уравнения или нет.
Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел.
Цель исследования: изучение теории алгебраических чисел, совершенствование изучения математики с помощью элементарных понятий и методов теории чисел.
Задачи:
• изучить и изложить историю возникновения теории алгебраических чисел, а особенно появление первых теорем об алгебраических числах, различные виды доказательств этих утверждений и их практическое применение;
• изложить утверждения об алгебраичности некоторых важных в математике констант и доказать эти утверждения:
• привести примеры алгебраических чисел на основе изложенного материала.
Объект исследования: алгебраические числа.
Предмет исследования:
• расширение числовых полей при помощи алгебраических чисел;
• освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби;
• рациональное приближение действительных чисел.
Методы исследования: изучение литературы по истории математики и теории чисел, а также по теории чисел, чтобы на основе этих теоретических данных проводить практическое исследование алгебраичности и трансцендентности некоторых чисел, а также построение примеров алгебраических чисел.
Структура и объём работы. ВКР состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 44 страницах. Список литературы содержит 16 наименований.
Практическая значимость: создание элективного курса и факультатива.
Купить