Тема: НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Групповой анализ является мощным инструментом при рассмотрении нелинейных уравнений и краевых задач. Он возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX в. Софуса Ли (1842-1899) и служил главной составной частью его важнейшего творения - теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа - вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений - была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились, и надолго.
Интерес к групповому анализу возродил Л.В.Овсянников, показав в своих работах 1958-1962 гг., что главное орудие, которым пользовался Ли, - описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп - обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики.
Цель исследования: изучение приложений группового анализа дифференциальных уравнений.
Задачи:
• рассмотреть применение группового анализа к гиперболическим уравнениям;
рассмотреть решение гиперболических уравнений с помощью метода Римана.
Объект исследования: дифференциальные уравнения.
Предмет исследования: гиперболические уравнения.
Методы исследования: методы теории дифференциальных уравнений.
Структура и объём работы. ВКР состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 41 страницах. В списке литературы содержится 9 наименований.

Купить

Групповой анализ значительно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами её использования, ведёт к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути их решения.
К сожалению, приходится отметить, что сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках. В то время как групповой анализ является мощным орудием исследования достаточно сложных уравнений механики и математической физики.
В данной работе были рассмотрены и изучены:
- однопараметрические группы преобразований;
- уравнение Ли, инварианты, инфинитезимальный оператор группы, инвариантные уравнения;
- группы, допускаемые дифференциальными уравнениями;
- формулы продолжения, определяющие уравнения, алгебры Ли, многопараметрические группы;
- методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу (методы интегрирующего множителя, замены переменных);

Купить