ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 6
1.1. Однопараметрические группы преобразований 6
1.1.1. Определение и примеры 6
1.1.2. Уравнение Ли 8
1.1.3. Инварианты. Инфинитезимальный оператор группы 100
1.1.4. Инвариантные уравнения 12
1.2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями 14
1.2.1. Предварительное обсуждение на примере теплопроводности 14
1.2.2. Обозначения 15
1.2.3. Группы точечных преобразований. Формулы продолжения ... 17
1.2.4. Определяющие уравнения 19
1.2.5. Алгебры Ли и многопараметрические группы 23
1.3. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений,
допускающих группу 26
1.3.1. Интегрирующий множитель 26
1.3.2. Замена переменных 28
1.3.3. Уравнения второго порядка 28
ГЛАВА 2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ
НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
2.1. Метод Римана 32
2.2. Теорема Ли - Овсянникова 35
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 4
Купить

Групповой анализ является мощным инструментом при рассмотрении нелинейных уравнений и краевых задач. Он возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX в. Софуса Ли (1842-1899) и служил главной составной частью его важнейшего творения - теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа - вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений - была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились, и надолго.
Интерес к групповому анализу возродил Л.В.Овсянников, показав в своих работах 1958-1962 гг., что главное орудие, которым пользовался Ли, - описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп - обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики.
Цель исследования: изучение приложений группового анализа дифференциальных уравнений.
Задачи:
• рассмотреть применение группового анализа к гиперболическим уравнениям;
рассмотреть решение гиперболических уравнений с помощью метода Римана.
Объект исследования: дифференциальные уравнения.
Предмет исследования: гиперболические уравнения.
Методы исследования: методы теории дифференциальных уравнений.
Структура и объём работы. ВКР состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 41 страницах. В списке литературы содержится 9 наименований.

Купить