Введение 3
1 Основные определения 4
2 Вспомогательные результаты 6
2.1 Результаты из общей теории приближенных
методов анализа 6
2.2 Сведения из теории приближения функций
алгебраическими полиномами 8
2.3 О некоторых свойствах дробно- интегральных
операторов Римана-Лиувилля 12
3 О решении простейшего дробно-интегрального
уравнения 13
3.1 Интегральное уравнение Абеля 13
3.2 Об обосновании решения уравнения (3.1) в классе
интегрируемых функций 14
4 Общий полиномиальный проекционный метод 16
5 Конкретные реализации общего проекционного метода 20
5.1 Метод коллокации 20
5.2 Метод Галеркина 23
5.3 Метод суммирования интерполяционных полиномов ... 25
Заключение 28
Литература
Работа посвящена изучению одного дробно-интегрального уравнения с точки зрения его корректной постановки, а также построению простых вычислительных схем проекционных методов решения указанного уравнения.
Исследуемая тема является актуальной, поскольку дробно-интегральные уравнения относятся к некорректным в смысле Адамара. Поэтому, если эту задачу решать как некорректную, соответствующие вычислительные схемы будут громоздкими для реализации на практике. Кроме того, лишь в редких частных случаях возможно найти точное решение.
В настоящее время активно проводится изучение уравнений с дробно-интегральными операторами. Это связано с тем, что ряд теоретических и прикладных задач приводят к необходимости решения уравнений с оператором дробного интегрирования.
В работе предлагается общий полиномиальный проекционный метод для нахождения приближенного решения дробно- интегрального уравнения вида
+ / h(x,t)'(t)dt = f (x), a < x < 1, 0
J a
где f(x) и h(x,t) —известные функции, а '(t) — искомая, заданные в своих областях определения. Кроме того, дана его реализация в виде методов Галеркина и коллокации.
Работа состоит из пяти пунктов. В первом пункте даются основные определения, во втором и третьем приводятся известные результаты из ряда областей математического анализа и результаты относительно оператора дробного интегрирования соответственно. В четвертом пункте дается обоснование общего полиномиального проекционного метода. В пятом пункте приводятся с теоретико-функциональным обоснованием вычислительные схемы методов Галеркина и коллокации.
В работе для одного дробно-интегрального уравнения в конкретной паре пространств гельдеровых функций доказана корректность по Адамару. Построена вычислительная схема общего полиномиального проекционного метода и приведено обоснование в двух случаях, задаваемых свойствами оператора проектирования. Приведены конкретные реализации этого метода в виде методов Галеркина, коллокации и метода суммирования интерполяционных полиномов.
