Тема: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

Вариационное исчисление - раздел математики в котором изучаются вариации функционалов вида :
J(x) = L(t, x(t), x(t))dt
Вариационная задача означает нахождение функции (в рамках вариационного исчисления - уравнения на функцию), удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала. Также вариационной задачей называют задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума. Обычно при таком употреблении терминов подразумевается то, что задача решается методами вариационного исчисления.
Уравнения Эйлера - Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых находятся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко применяются в задачах оптимизации. Использование уравнений Эйлера - Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов
- функций бесконечномерного аргумента.
Пусть задан функционал: J = f F(x,f (x), f0(x))dx a
с подынтегральной функцией F(x,f(x), f0(x)), обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где через f’ обозначена первая производная f по x. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции f, то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение:
@F_ A@F_n df dx df 0
- которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.
Если задача с ограничением, то уравнение Эйлера-Лагранжа может давать решение не на всем отрезке. В этом случае решение задачи будет функция, которая удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа на некотором интервале, а на другом интервале будет выполняться ограничение со знаком неравенства. Если повезет и ограничение окажется несущественным, то есть надежда на то, что решение уравнения Эйлера- Лагранжа даст решение исходной задачи. В данной работе мы подробно исследуем экстремальную задачу с ограничением, для которой решение уравнения Эйлера-Лагранжа на всем отрезке заведомо не является решением этой задачи.
Нами будут описаны два подхода, один из которых основан на применении неравенства Йенсена (этот подход был применен в работе И.Р.Каюмова и Д.В.Маклакова [18]). Другой подход заключается в сведении данной экстремальной проблемы к поиску экстремума функции n-переменных. Эффективный алгоритм приближенного решения этой задачи и является нашим основным результатом.

Купить

В работе на примере одной нелинейной вариационной проблемы гидродинамики описаны два подхода к решению нелинейной вариационной проблемы. Первый подход базируется на точном решении, полученном И.Р. Каюмовым и Д.В. Маклаковым при помощи неравенств Йенсена. Недостаток этого подхода заключался в том, что необходимо было знать точное решение. В данной проблеме это было сделать сложно, так как это решение удовлетворяло уравнению Эйлера-Лагранжа не на всем отрезке. Нам удалось получить приближенное решение этой задачи при помощи численного алгоритма.
Купить