ВВЕДЕНИЕ 3
1. Постановка задачи 5
2. Описание способа программной реализации 10
3. Описание примеров 13
4. Сравнительный анализ алгоритмов по численным экспериментам 15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 30
ПРИЛОЖЕНИЯ 31
Купить

При решении разнообразных прикладных задач, а также при исследованиях в области математической теории естественным образом возникают так называемые корректные и некорректные задачи.
В 1943 году появилась работа А.Н. Тихонова, в которой была указана практическая важность некорректных (неустойчивых по отношению к погрешностям в их исходных данных) задач и возможность их успешного решения.
А.Н. Тихоновым были предложены условия корректности задачи, а именно, задача называется корректной по Тихонову, если:
- априори известно, что решение задачи у существует для некоторого класса L и принадлежит некоторому заданному множеству М функционального пространства;
- решение единственно в некотором классе и в классе решений, принадлежащих М;
- бесконечно малым вариациям исходных данных задачи, не выводящим решение за пределы множества М, соответствуют бесконечно малые вариации решения.
По этой причине неустойчивость по отношению к погрешностям в исходных данных таких задач, которая имеет место практически во всех наиболее интересных для исследователей случаях, приводит к необходимости сформулировать принципы отбора приемлемых для исследователей их приближенных решений.
При необходимости приближенного решения таких задач (в нашем случае систем линейных алгебраических уравнений- СЛАУ) потребуется использовать методы регуляризации.
Замена исходной задачи на последовательность возмущенных задач (или даже одну возмущенную задачу) называется регуляризацией.
В настоящей работе производится сравнение двух версий методов итеративной регуляризации на численных примерах, используя итеративные процессы, реализация которых достаточно проста, а также эффективность методов.
Цель работы заключается в сравнении двух типов методов итеративной регуляризации: с пошаговым и со ступенчатым изменением параметров базового метода (в качестве базовых методов будем рассматривать метод градиентного спуска и метод проекции градиента). В дальнейшем будем их называть Метод 1 (пошаговое изменение параметров базового метода) и Метод 2 (ступенчатое изменение параметров базового метода). В методе 2 изменение параметра регуляризации происходит не на каждой итерации в отличие от метода 1, таким образом позволяя более свободно регулировать длину шага, например, по правилу Армихо [1]. Сравнение методов будет проводиться на различных группах примеров.
Задачи работы: изучение и исследование методов итеративной регуляризации, позволяющие найти приближенное решение некорректно поставленных задач, разработка программного продукта, включающего методы решения таких типов задач, проведение численных экспериментов сравнения решений, найденных предложенными методами.

Купить