Введение 3
Глава 1. Теоретические основы изучения непрерывных дробей 5
1.1 История появления и развития цепных дробей 5
1.2 Применение непрерывных дробей 8
Глава 2. Подходящие дроби в качестве наилучших приближений 13
2.1. Сравнение точности приближения подходящей дробью и любым соответствующим рациональным числом 13
2.2. Алгоритм выделения наилучших приближений к заданному числу из множества рациональных чисел 16
Заключение 19
Список используемой литературы 20
В вычислительной практике действительные числа заменяют рациональными, при этом рациональное число выбирают максимально простым в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или обыкновенной с небольшим знаменателем. В вопросах приближённого представления действительных чисел рациональными дробями большое значение имеет аппарат непрерывных (цепных) дробей.
Бесконечной цепной, или непрерывной, дробью общего вида называют разложение
где и могут принимать произвольные, отличные от нуля рациональные значения, может быть равно нулю. Если в данной дроби все , ( ), то дробь будет называться правильной цепной дробью.
Также различают ветвящиеся цепные дроби:
В своей основе вопросы теории цепных дробей доступны учащимся основной школы. Её алгоритмы основаны на применении алгоритма Евклида, выделения целой части числа. Её задачи связаны с приближением действительных чисел и опираются на теорию рациональных и действительных чисел.
Актуальность данной темы состоит в том, что она интересна своим применением в разнообразных задачах, в том числе и задачах олимпиадного характера, которые встречаются на экзаменах. Действительные числа однозначно отображаются цепными дробями. Основное значение такого изображения заключается в том, что, зная цепную дробь, изображающую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью.
Цель данной работы – изучить цепные дроби общего вида, рассмотреть возможные способы приближения действительных чисел рациональными дробями и выбрать оптимальный, дающий наилучшие приближения.
Объект исследования – дроби
Предмет исследования - непрерывные дроби
Сформулируем рабочую гипотезу в виде предположения о том, что, зная цепную дробь, изображающую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью.
Задачи:
рассмотреть вопросы истории, касающиеся появления и развития цепных дробей, а также их приложений;
овладеть алгоритмами нахождения подходящих дробей для действительных чисел;
изучить основные свойства подходящих дробей цепной дроби;
рассмотреть различные способы оценки погрешности, возникающие при приближении действительных чисел рациональными дробями;
выбрать наилучшие способы приближения действительных чисел.
Цепными дробями занимались от случая к случаю, и первым, кто систематизировал знания о цепных дробях и изложил полную их теорию, насколько это было возможно сделать в ту эпоху, был Леонард Эйлер (1707-1783). Он опубликовал свою первую работу в 1744 г., в которой рассматривал цепную дробь общего вида и впервые появляются соответствующие цепные дроби. Следует заметить, что сам термин «цепная дробь» появился лишь в XVIII веке, а до этого времени использовалось понятие «непрерывная дробь».
Задачами, относящимися к теории чисел, являются разложения действительных чисел в правильные непрерывные дроби и аппроксимации действительных чисел с помощью цепных (непрерывных) дробей. Здесь наиболее важным является вопрос о степени приближения, которое обеспечивает n-я подходящая дробь и об оценке погрешности при замене действительного числа подходящей дробью.
Приближение подходящей дробью дает большую точность при значительно меньшем знаменателе, чем приближение десятичной дробью, так что всякое дальнейшее усиление точности может быть достигнуто лишь ценою увеличения знаменателя (а значит, и числителя) приближающей дроби.
Для того, чтобы найти рациональное приближение к рациональному числу со знаменателем в виде наиболее близкой к подходящей дроби. Для этого надо взять подходящую дробь для с наибольшим знаменателем, не превышающим n. Найти рациональное приближение к рациональному числу с возможно меньшим знаменателем так, чтобы погрешность не превосходила (то есть с точностью до ). Для этого, пользуясь аппаратом цепных дробей, находим подходящую дробь с наименьшим знаменателем так, чтобы
