Тема: ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ СХЕМ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА ГАЛЁРКИНА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

При решении начально-краевых задач для уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией возникают проблемы, связанные с потерей устойчивости сеточных схем. Одним из способов решения таких задач может быть применение для их решения известных неявных монотонных противопотоковых схем или монотонных недивергентных схем А.А.Самарского [1, 2]. Такие схемы являются абсолютно устойчивыми, однако обладают невысокой точностью и обладают неприятным свойством, которое часто называют "размазыванием" пограничных слоёв или разрывов. Актуальной является задача построения устойчивых схем, при этом обеспечивающих высокую точность даже на негладких решениях задач и не требующих больших вычислительных затрат.
Большую популярность при решении указанных выше задач приобрели разрывные методы Галёркина (Discontinuous Galerkin Methods, DG - методы). DG-схемы основаны на пространствах разрывных конечных элементов и являются локально и глобально консервативными. По сравнению со стандартной схемой МКЭ такого же порядка точности система алгебраических уравнений DG-схем имеет существенно более высокую размерность, что является недостатком метода. Для его преодоления в схемы МКЭ вводится новая неизвестная, соответствующая сужению решения и на границы конечных элементов. Это приводит к гибридизированным схемам.
Гибридизированные схемы разрывного метода Галёркина (Hybridized Galerkin Schemes, HDG - схемы), построенные на основе смешанной формулировки задачи, имеют много общего с гибридизированными смешанными схемами МКЭ и также формируются в терминах приближений к и, q, X, где Л - сужение и на границы элементов.
В настоящей работе мы показываем, что использование таких схем позволяет уменьшить количество вычислений за счёт исключения части неизвестных в сеточных уравнениях. Здесь приводятся результаты численных экспериментов. Реализация экспериментов осуществлена с помощью пакета прикладных программ MATLAB.

Купить

Построенные в работе схемы разрывного гибридизированного метода Галёркина с элементами RT0по пространственной переменной как с кусочно постоянными (г = 0, двухслойная схема), так и кусочно линейными разрывными элементами (г = 1, трёхслойная схема), показали абсолютную устойчивость.
Проведённые в работе исследования выявили, что двухслойная схема разрывного метода Галёркина с кусочно постоянными по времени элементами имеет точность О(т + h).Сеточная схема с кусочно линейными элементами по временной переменной имеет точность решения порядка О(т2+ h).
Показано, что рассматриваемые классы схем допускают экономичное решение за счет исключения части неизвестных из системы уравнений. При решении двухслойной схемы в пространственно одномерном случае случае возникает необходимость в решении трёхточечного уравнения, что не вызывает больших трудностей. В результате определяется часть неизвестных в граничных точках элементов. При решении трёхслойной схемы при нахождении части неизвестных в граничных точках элементов возникает необходимость в решении блочно трёхдиагональной системы уравнений с размерами блоков 2 х 2, что также не вызывает особых сложностей.
Таким образом, рассматриваемые в работе схемы могут быть использованы при решении широкого нестационарных задач диффузии с доминирующей конвекцией.

Купить