ВВЕДЕНИЕ 3
1. Теоретические основы изучения показательной и
логарифмической функций 6
1.1 Образовательные цели изучения темы «Показательная и
логарифмическая функции» 6
1.2 Содержание и анализ материала по показательной и
логарифмической функциям в различных школьных учебниках 11
2. Содержательно-методическое обеспечение изучения показательной и логарифмической функций 17
2.1 Методика изучения свойств степеней. Введение определения
показательной функции в школе, ее свойства и графика. 17
2.2 Решение задач с использованием показательной функции в средней
школе 20
2.3 Методика изучения логарифмической функции, ее свойств и
графика. Производная логарифмической функции 27
2.4 Решение задач с использованием логарифмической функции в
средней школе 32
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 38
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИЕРАТУРЫ
Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простые преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе и в IV-V классах. Но основная нагрузка по формированию умений и навыков выполнения преобразований приходится на школьный курс алгебры. Связано это как с быстрым увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их доказательству и выяснению условий применимости, с выделением и изучением понятий, преобразований.
Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.
Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени область определения которой - множество действительных чисел, необходимо ввести определение, степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа a: r1< а
На протяжении последних лет Единый Государственный Экзамен стал экзаменом, позволяющим проверить знания выпускников по тому или иному предмету. Успешная сдача единого государственного экзамена по математике является основным способом для поступления в высшее учебное заведение. Для того чтобы сдать этот, без сомнения, тяжелый экзамен нужно долго и упорно готовиться. А чтобы успешно сдать экзамен, нужно многое знать, что, собственно, требуется от экзаменующегося. В материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы предлагаются задания, содержащие показательные и логарифмические задачи. Такого типа задания вызывают затруднения у учащихся, популярность этой темы обусловлена удивительными свойствами логарифмических и показательных уравнений и функций, многие из которых совершенно не отражены в школьных учебниках. С понятиями показательная функция и логарифмическая функция ученики начинают знакомиться в старших классах, где они проходят самые азы решения данных уравнений.
Актуальность исследования: анализ материала, посвященного изучению показательной и логарифмической функций в учебных пособиях «Алгебра и начала анализа» для 10 - 11 классов разных авторов, учет целей изучения данных функций, а так же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой, свидетельствует о том, что перед учителем стоит задача - формировать у учащихся умения изучать функции каждого вида, развивая тем самым общие логарифмические и показательные представления, которые помогут обучающимся при решении не только школьного курса задач, но и при подготовке к ЕГЭ.
Объект исследования: процесс обучения математике.
Предмет исследования: изучение показательной и логарифмической функций в общеобразовательной школе.
Цель моей работы - методика изучения показательной и логарифмической функций и их применение в обучении решению уравнений.
Задачи, необходимые для достижения поставленной цели:
• провести теоретический анализ школьных учебников, интернет-
источников, педагогической и методической литературы по теме исследования;
• рассмотреть основные понятия, утверждения, типовые задачи, связанные с показательной и логарифмической функциями в школьном курсе математики;
• рассмотреть различные методики решения типовых задач.
Теоретическая значимость работы заключается в получении знаний, способствующих изучению различных сторон математических понятий показательной и логарифмической функций.
Практическая значимость исследования определяется тем, что учебные материалы, направлены на повышение уровня знаний школьников.
Изучение темы "Показательная, логарифмическая и степенная функции" в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами:
Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем;
показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества: У- з = .У" : = У- . тождественные преобразования показательных выражений; решение показательных уравнений, неравенств и систем; понятие об обратной функции; логарифмическая функция, ее свойства и график; основные логарифмические тождества: logaху = logaх + Logaу; loga= logaх -logaу; logaх? = р logaх,тождестве нные преобразования логарифмических выражений; решение логарифмических уравнений, неравенств и систем; производная показательной функции; число е и натуральный логарифм; производная степенной функции; дифференциальное уравнение радиоактивного распада.
Показательная функция, подобно линейной и квадратичной, очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. И это, конечно, не является случайностью. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине (размножение бактерий, ход химической реакции и т.д.). В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид: у =у0*ах.
Широкое применение нашла логарифмическая функция в астрономии:
Здесь по вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха (распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на горизонтальной - показания приборов.
По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией.
