Моделирование внутренних задач гидродинамики на основе f - модели турбулентности

Аннотация 3
Введение 4
1 Современное состояние теории турбулентности 8
1.1 Актуальные проблемы современной гидродинамики 8
1.2 Вычислительная гидродинамика 11
1.3 Турбулентность в ANSYS 14
1.4 f — модель турбулентности 16
2 Ламинарное течение в круглой трубе 19
2.1 Течение Пуазейля в трубе 19
2.2 Течение в начальном участке круглой трубы 21
2.3 Закон сопротивления для течеия в трубах 21
3 Феноменологическая f — модель турбулентности 27
3.1 Физический смысл функции f 27
3.2 Система уравнений модели 34
3.3 Определение феноменологических констант 37
4 Расчет течения жидкости в круглой цилиндрической тру¬
бе на основе f — модели 46
4.1 Постановка задачи о течении в трубе 46
4.2 Численный расчет и сравнение результатов 49
4.3 Верификация на основе ламинарного течения 52
4.4 Интегрирование задачи в рамках f — модели 53
Заключение 55
Список литературы 56
Купить

К концу позапрошлого столетия развитие гидродинамики подошло к этапу, когда ее дальнейшее существование как единой науки, использующей в своих построениях строгий математический аппарат, стало невозможным. Это объясняется тем, что ввиду быстрых темпов развития техники и появления новых технических устройств, возник спрос на количественные характеристики реальных величин, которые в силу сложности рассматриваемых процессов, современная на тот момент гидродинамика дать не могла. Это привело к тому, что дальнейшее развитие этой науки пошло по двум различным путям. Первый - это теоретическая гидродинамика, основанная на уравнениях Эйлера движения жидкости при отсутствии сил трения. Иной подход - это принявшая отчетливый эмпирический характер, основывающаяся в большинстве своем на экспериментальных данных и радикально отличающаяся от теоретической методиками и спектром решаемых задач - гидравлика [1].
Решение обширного спектра гидродинамических задач подразумевает применение строгого математического аппарата интегрирования дифференциальных уравнений, лежащих в основе математической модели, которая служит эквивалентом рассматриваемой задачи, а также граничных и начальных условий. Суммарные характеристики, описывающие процесс, находятся из довольно общих теорем механики - законов сохранения количества движения, массы, энергии и других. Большая сложность, однако, состояла в том, что результаты, полученные методами классической гидродинамики, во многом шли вразрез с результатами опытов. Особенно резко это коснулось в таких важных с практической точки зрения вопросах, как расчет сопротивления, оказываемого жидкостью на движущееся в ней тело, нахождение характеристик потока жидкости вблизи твердой стенки и др.
В начале прошлого века были выведены уравнения движения жидкости с учетом вязкого трения (уравнения Навье-Стокса). Но из-за больших математических трудностей в нахождении их аналитических решений, применить эти уравнения для решения задач о течении жидкости при наличии трения удавалось только редких частных случаях.
В идеальной жидкости касательные силы отсутствуют и на поверхности соприкосновения твердого тела с жидкостью имеется разность касательных скоростей, то есть происходит скольжение жидкости. Напротив, в действительной жидкости на обтекаемую твердую стенку передаются касательные силы, что приводит к прилипанию жидкости к стенке[2]. В данной работе будет рассматриваться идеальная вязкая жидкость.
Следующим значимым шагом в развитии этой теории стало введение в 1904 году Прандтлем понятия пограничного слоя [2]. Эта гипотеза, помимо своей физической наглядности в описании важной роли вязкости в задаче о сопротивлении вязкой жидкости, дала возможность преодолеть математические трудности и теоретически исследовать жидкости с трением. До сравнительно недавнего времени теоретические исследования дина¬мики жидкости в большинстве своем проводились для идеальной (несжимаемой и не обладающей трением) жидкости. Влияние трения и сжимаемости в заслуживающей того степени стало учитываться гораздо позднее. При движении жидкости без трения между слоями, в рассмотрение входят только нормальные силы (давления). Касательные же силы (напряжения сдвига) в такой модели отсутствуют. Касательные силы связаны с наличием у жидкости вязкости. В идеальной жидкости также отсутствует трение между жидкостью и твердой стенкой и вводится понятие скольжения жидкости вдоль стенки. В действительных жидкостях действуют как нормальные, так и касательные силы, возникающие между слоями жидкости и на границе жидкости и поверхности обтекаемого ею тела, а также между жидкостью и твердой стенкой, что приводит к прилипанию жидкости к стенке [1].
На сегодняшний день, все теории, описывающие турбулентность, являются полуэмпирическими, то есть для их построения используются данные, полученные в результате экспериментов. Подобно описанной ситуации, когда в рамках одного раздела науки имеется дело с почти не пере-секающимися между собой путями исследования, в современной гидродинамике раздельно изучаются две условные группы турбулентных течений. Первая - это полуэмпирические теории турбулентности (Прандтль, Карман, и др.), в которых устанавливаются алгебраические соотношения между касательными напряжениями и градиентами осредненных скоростей. Вторая группа - это интенсивно развивающиеся в настоящее время методы численного интегрирования средствами ЭВМ уравнений Рейнольдса с помощью различных моделей турбулентности, которые носят чисто эмпирический характер.
Схематически, такой метод можно представить как совокупность уравнений Рейнольдса и модели турбулентности, благодаря которой замыкается полученная система уравнений. В сравнении с полуэмпирическими теориями из первой группы, численные методы дают возможность исследовать гораздо более широкий спектр турбулентных течений, в первую очередь в связи с наличием большего числа эмпирических констант, необходимых для реализации метода на ЭВМ. Помимо этого, необходимо также задавать и «пристенные функции» - в том случае, если производится расчет вблизи границы с твердой стенкой.
Ламинарный и турбулентный режимы течений в современной гидродинамике также рассматриваются раздельно. Следствием данного подхода является возникновение обособленных друг от друга и разных по своему со-держанию теорий этих режимов течения. В рамках каждого из них имеют место свои реологические соотношения, которые приводят к разным выражениям ряда гидродинамических характеристик, среди которых профили скоростей и переменные, описывающие рассматриваемое течение в рамках выбранной модели. Это иллюстрирует тот факт, что задачи о рассмотрении перехода потока из ламинарного режима течения в турбулентный нетривиальны и по сей день требуют детального рассмотрения [36].
Определяющим фактором при выборе математической модели течения является критическое число Рейнольдса ReKp, которое характеризует переход от ламинарного режима течения к турбулентному и зависит от типа геометрии течения. К примеру, для круглых труб ReKp ~ 2300. В некоторых случаях, если течение не достаточно исследовано экспериментально (например, при проектировании нового оборудования), становится невозможным точно указать ReKp и в результате невозможно достоверно утверждать, с каким режимом течения предстоит иметь дело. Между тем, использование математической модели течения, несоответствующей реальной картине, то есть являющейся результатом изначально неверного предположения - естественно - самым критическим образом скажется на достоверности результатов подобных расчетов.
Существующие модели турбулентности нельзя считать универсальными, т.к. точность и достоверность результатов, полученных при их применении к различным видам турбулентных течений, будут различаться. Это означает, что исследования в области гидродинамики турбулентных течений далеки от завершения. Сама по себе проблема описания турбулентности является многоплановой и нетривиальной и, как упоминалось, не решена в рамках какого-то одного подхода.
Решить эту проблему на чисто феноменологическом уровне можно с помощью феноменологической модели, разработанной В. А. Павловским
[17] . Данная модель является своего рода альтернативой гипотезе длины пути перемешивания Прандтля и получила название f — модели. Для исследования f — модели на предмет ее работоспособности, в настоящей работе будет рассматриваться внутреннее течение Пуазейля, ввиду широкой распространенности данного вида течения.
Цели исследования
• Изучение природы турбулентности и актуальных методов ее исследования.
• Рассмотрение течения Пуазейля в гладкой цилиндрической трубе.
• Применение f - модели турбулентности для расчета внутренних течений.
• Формулировка математической модели рассматриваемого течения.
• Разработка и верификация алгоритма численного решения данной задачи.
• Получение численных результатов для различных чисел Рейнольдса.
• Получение аналитического решения задачи для различных чисел Рейольдса.
• Сопоставление численных результатов с аналитическим решением и имеющимся экспериментальными данными.
Купить