ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 6
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ 10
2.1 Канонические переменные 11
2.2 Уравнения для нахождения моментов переключения 18
2.3 Непрерывная зависимость моментов переключения от
спектра матрицы в линейной задаче быстродействия 34
ГЛАВА 3. ИТЕРАЦИОННЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ 39
3.1 Итерационный метод решения канонической задачи
быстродействия 39
3.2 Условия сходимости итерационного процесса для 41
решения канонической задачи быстродействия
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 50
ПРИЛОЖЕНИЕ. ЛИСТИНГ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ 54
Математическая теория оптимального управления возникла в середине 50-х годов XX столетия. Ее возникновение связано с необходимостью решения новых в тот период задач управления движущимися объектами, движения которых описывается дифференциальными уравнениями.
Выдающуюся роль в развитии теории оптимального управления сыграло открытие принципа максимума (Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкралидзе, Е. Ф. Мищенко [1]), который дает необходимое условие оптимальности.
В настоящее время теория оптимального управления имеет большое число различных приложений и является активно разрабатываемым разделом современной математики. Проблема вычислительных методов оптимального управления имеет устойчивую актуальность, которая определяется, в первую очередь, потребностями надежного и обоснованного решения новых, всё более сложных прикладных задач (динамика полета, физико-технические процессы, экономические модели, экология, медицина и др.).
С другой стороны, не менее важной является необходимость проведения фундаментальных исследований по дальнейшему развитию теории вычислительных методов оптимального управления (расширение классов рассматриваемых задач, поиск глобальных решений в невыпуклых задачах, обоснованная работа с вырожденными задачами и др.). Разработка вычислительных методов решения задач оптимального управления органично связана с условиями оптимальности и традиционно использует типовые конструкции, аппроксимации и процедуры варьирования, полученные в рамках качественной теории.
В современной теории оптимального управления одно из центральных мест занимает проблема быстродействия, в частности линейная проблема быстродействия. Поскольку время быстродействия является наиболее естественным критерием оптимальности, задачи на быстродействие стали одним из наиболее распространенных объектов применения различных методов оптимального управления. В последнее время существенное развитие теории линейного быстродействия было достигнуто на основе изучения ее связи с классической проблемой моментов, в частности, с min- проблемой моментов. Одним из центральных пунктов в таком подходе стало исследование задачи быстродействия для канонической управляемой системы.
Важным звеном, связывающим теоретическое исследование с практикой, является разработка для решения задач быстродействия численных методов, ориентированных на комплексное применение. Большой интерес представляет решение задач быстродействия для систем с большой размерностью.
Из приведенного обзора видно, что создание численных методов решения линейных задач быстродействия представляет интерес как для развития решения линейных задач быстродействия, так и служит основой для создания методов решения нелинейных задач быстродействия.
Целью работы является исследование применения метода итерации к решению канонической задачи быстродействия, основанном на min- проблеме моментов Маркова.
В работе поставлены следующие задачи:
Исследовать возможности применения метода итерации к решению канонической задачи быстродействия;
Получить условия сходимости итерационного процесса для решения канонической задачи быстродействия;
Реализовать численно метод итерации для решения канонической задачи быстродействия.
Научная новизна исследовательской работы заключается в том, что получены достаточные условия сходимости метода итерации для нелинейной системы; построена численная реализация метода итерации для решения канонической задачи быстродействия
Мы постоянно встречаемся с управляемыми объектами, к числу которых относится, например, автомобиль, корабль, летательный аппарат, технологический процесс на производстве и т.п. У всех этих объектов есть органы управления ("рули"), изменением положения которых можно влиять на движение объекта. Возникает вопрос о том, как управлять объектом наилучшим образом (оптимально), как применять для этих целей математические методы системы-
Математическое моделирование реальных процессов является ответственным этапом исследования
К настоящему времени оформились как в результативном, так и в методическом плане основные подходы к численному решению задач оптимального управления в обыкновенных динамических системах. Существенный прогресс в проблематике вычислительных методов связан, в первую очередь, с классическими задачами без смешанных, фазовых и терминальных ограничений, которые являются характер- ной моделью для демонстрации и реализации разнообразных идей и принципов построения итерационных методов с целью их дальнейшего обобщения. В этих задачах фигурирует только один (целевой) функционал и присутствуют только поточечные (явные) ограничения на управление, поэтому процедуры улучшения имеют здесь однозначную направленность: построить
допустимое управление с меньшим значением функционала. Разнообразие методов определяется характером используемых аппроксимаций функционала (игольчатая, фазовая, слабая вариации первого и второго порядка) и типом варьирования управлений (игольчатое, слабое, смешанное, внутреннее, комбинированное). В первую очередь здесь закономерно выделяются методы и алгоритмы, связанные с необходимыми условиями оптимальности. Наиболее эффективным средством для построения вычислительных процедур служит min-проблема Маркова.
В настоящей работе рассмотрено решение канонической задачи быстродействия на примере решения метода простой итерации и метода Зейделя. Написан и разработан комплекс решения этих методов при помощи комплекса Matlab.
В работе были решены следующие задачи:
Исследованы возможности применения метода итерации к решению
канонической задачи быстродействия;
Получены условия сходимости итерационного процесса для решения канонической задачи быстродействия;
Реализованы численно метод итерации для решения канонической задачи быстродействия.
Проведен анализ работ по данной тематике.
Научная новизна исследовательской работы заключается в том, что получен новые достаточные условия сходимости итерационного процесса для нелинейных систем. Рассмотренное применение метода итерации для канонических систем может быть распространено и для решения некоторых неканонических управляемых систем.
Построена численная реализация метода итерации для решения канонической задачи быстродействия
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
