Тема: Два метода групповой классификации дифференциальных уравнений

Актуальность исследования. В XIX веке выдающийся ученый и великий математик Софус Ли (1842 — 1899), первым из ученых создал теорию непрерывных групп, где главной частью является групповой анализ дифференциальных уравнений. Так и возникло данное научное направление. Софус Ли сам сумел решить основные задачи группового анализа, в частности вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений. Хотя необходимо добавить, что подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, будущие исследования в этом направлении прекратились, и надолго.
Опять возобновились работы в данном научном направлении только в 1958г. Л.В. Овсянниковым. Он показал в своих работах, что главное орудие, которым пользовался Ли, — описание свойств дифференциальных уравнений с помощью допускаемых групп — определяет его мощность не только в случаях полной разрешимости, а также построение различных классов точных решений и качественного исследования дифференциальных уравнений механики и математической физики.
Цель исследования: изучение двух методов групповой классификации дифференциальных уравнений.
Задачи:
• расширить теоретические знания;
• рассмотреть и изучить одно-параметрические группы преобразований, уравнение Ли, инварианты, инфинитезимальный оператор группы, инвариантные уравнения; группы точечных преобразований, формулы продолжения, определяющие уравнения, алгебры Ли и много-параметрические группы, методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (метод интегрирующего множителя,
замены переменных);
• исследовать некоторые нелинейные уравнения с частными производными.
Объект исследования: групповой анализ дифференциальных уравнений.
Предмет исследования: методы группового анализа.
Метод исследования: методы группового анализа дифференциальных уравнений.

Купить

В первой главе мы рассмотрели в частности, часто встречающиеся в математической физике линейные уравнения с частными производными второго порядка по двум независимым переменным. Для этих уравнений были приведены все расчеты, которые предоставляют в результате исчерпывающий классификационный результат. Окончательные формулы были получены для гиперболической (а также параболической) нормальной формы.
Вторая глава посвящена рассмотрению одной из центральных задач классического группового анализа дифференциальных уравнений, а именно — задаче групповой классификации нелинейных дифференциальных уравнений заданного вида.

Купить