Введение 2
Глава 1. Линейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными 4
1.1 Постановка задачи 4
1.2 Инварианты Лапласа 5
1.3 Ряд Лапласа 7
1.4 Определяющие уравнения 10
1.5 Анализ общего решения 12
1.6 Классификационная теорема 14
1.7 Параболическая нормальная форма 16
1.8 Классификация параболических форм 18
1.9 Классификационный результат 20
Глава 2. Некоторые нелинейные уравнения с частными производными 22
2.1 Постановка задачи и обзор известных результатов 22
2.2 Групповая классификация нелинейного уравнения фильтрации . . 26
2.3 Новый подход к решению задачи групповой классификации 42
Заключение 58
Литература

Купить

Актуальность исследования. В XIX веке выдающийся ученый и великий математик Софус Ли (1842 — 1899), первым из ученых создал теорию непрерывных групп, где главной частью является групповой анализ дифференциальных уравнений. Так и возникло данное научное направление. Софус Ли сам сумел решить основные задачи группового анализа, в частности вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений. Хотя необходимо добавить, что подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, будущие исследования в этом направлении прекратились, и надолго.
Опять возобновились работы в данном научном направлении только в 1958г. Л.В. Овсянниковым. Он показал в своих работах, что главное орудие, которым пользовался Ли, — описание свойств дифференциальных уравнений с помощью допускаемых групп — определяет его мощность не только в случаях полной разрешимости, а также построение различных классов точных решений и качественного исследования дифференциальных уравнений механики и математической физики.
Цель исследования: изучение двух методов групповой классификации дифференциальных уравнений.
Задачи:
• расширить теоретические знания;
• рассмотреть и изучить одно-параметрические группы преобразований, уравнение Ли, инварианты, инфинитезимальный оператор группы, инвариантные уравнения; группы точечных преобразований, формулы продолжения, определяющие уравнения, алгебры Ли и много-параметрические группы, методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (метод интегрирующего множителя,
замены переменных);
• исследовать некоторые нелинейные уравнения с частными производными.
Объект исследования: групповой анализ дифференциальных уравнений.
Предмет исследования: методы группового анализа.
Метод исследования: методы группового анализа дифференциальных уравнений.

Купить