Тема: АППРОКСИМАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ НАГРУЖЕННОГО СТЕРЖНЯ

Задачи на собственные значения возникают при решении важных научно-технических задач. К таким задачам можно отнести задачи конструирования летательных аппаратов, надводных и подводных
судов, расчета на прочность строительных конструкций и сооружений. Многие применяемые конструкции и сооружения испытывают
локальные воздействия. В настоящей работе исследуется задача на
собственные значения, описывающая собственные колебания стержня с присоединенным грузом. Исходная задача аппроксимируется методом конечных разностей на равномерной сетке. Целью работы является теоретическое и численное исследование предельных свойств
собственных колебаний нагруженного стержня при увеличении величины массы присоединенного груза, экспериментальное исследование
погрешности метода конечных разностей в зависимости от шага сетки
и величины присоединенной массы.
В разделе 1 излагаются хорошо известные результаты по теории
гильбертовых пространств и теории вариационных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве, содержащиеся в книгах
[1–8]. Эти результаты применяются в последующих разделах при исследовании прикладных задач на собственные значения. Операторные задачи на собственные значения изучаются в следующих книгах
[2,3,5–7]. Близкие результаты в вариационной форме излагаются в
книгах [1,9–11]. Описанные теоретические результаты используются
при исследовании прикладных задач на собственные значения математической физики и механики в книгах [1,4,6,9,10,11–13].
В разделе 2 приведены постановки задачи о собственных коле-
3баниях стержня с различными условиями на границе: жесткое закрепление, свободное условие и условие присоединения груза. Эти
задачи сводятся к нахождению собственных значений и собственных
функций дифференциальных задач на собственные значения с соответствующими граничными условиями. Изложение опирается на известный материал из книги [14].
В разделе 3 исследуются асимптотические свойства задачи о собственных колебаниях стержня с присоединенным грузом при бесконечном увеличении массы груза.
В разделе 4 построена сеточная схема для решения задачи о собственных колебаниях стержня с присоединенным грузом и описаны
проведенные численные эксперименты. В приложении А и приложении Б содержатся результаты расчетов и разработанная программа.
Сеточные методы для решения дифференциальных задач изучены
в книгах [12,15–17]. Теоретические исследования погрешности сеточных схем для задач на собственные значения проведены в монографии [13].
Купить

В настоящей работе исследуется задача на собственные значения, описывающая собственные колебания стержня с присоединенным грузом. Эта задача сводится к решению обыкновенной дифференциальной задачи на собственные значения со спектральным параметром в граничном условии. Кроме того, в граничном условии
присутствует дополнительный параметр, определяющий массу присоединенного груза. Дифференциальная задача формулируется в виде вариационной задачи на собственные значения в гильбертовом
пространстве, или точнее, в виде задачи на собственные значения
для симметричной положительно определенной ограниченной билинейной формы относительно симметричной положительной вполне
непрерывной билинейной формы, зависящей от дополнительного параметра массы, в гильбертовом пространстве. Исследование задачи
проводилось с помощью теории гильбертовых пространств и теории
вариационных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве. Основной результат работы состоит в исследовании асимптотических свойств параметрической задачи при увеличении параметра до бесконечности. Для формулировки результата применялись
дополнительные предельные задачи на собственные значения. Для
решения исходной задачи построена сеточная схема метода конечных
элементов с линейными конечными элементами на равномерной сетке. Сеточная схема приведена к конечно-разностной форме, которая
записана в матричном виде. Для решения матричной задачи разработана программа и проведены численные эксперименты для модельных задач. Экспериментально проверены предельные свойства пара-
42метрической задачи и определен порядок сходимости сеточной схемы.
Полученные результаты могут быть применены при исследовании и
расчете собственных колебаний сложных механических систем с присоединенными грузами.
Купить