ВВЕДЕНИЕ 3
1 Задачи в гильбертовом пространстве 5
1.1 Гильбертовы пространства 5
1.2 Линейные и билинейные формы 13
1.3 Вариационное уравнение 18
1.3 Вариационная задача на собственные значения 19
2 Задачи о собственных колебаниях стержня 24
2.1 Стержень закреплен в двух точках 24
2.2 Стержень закреплен в одной точке 26
2.3 Стержень с присоединенным грузом 27
3 Асимптотические свойства задачи о стержне с грузом 30
3.1 Вариационная постановка задачи 30
3.2 Параметрическая задача 31
3.3 Предельные свойства параметрической задачи 32
4 Сеточная аппроксимация задачи 38
4.1 Построение сеточной схемы 38
4.2 Численные эксперименты 40
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 42
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 44
ПРИЛОЖЕНИЕ

Купить

Задачи на собственные значения возникают при решении важных научно-технических задач. К таким задачам можно отнести задачи конструирования летательных аппаратов, надводных и подводных
судов, расчета на прочность строительных конструкций и сооружений. Многие применяемые конструкции и сооружения испытывают
локальные воздействия. В настоящей работе исследуется задача на
собственные значения, описывающая собственные колебания стержня с присоединенным грузом. Исходная задача аппроксимируется методом конечных разностей на равномерной сетке. Целью работы является теоретическое и численное исследование предельных свойств
собственных колебаний нагруженного стержня при увеличении величины массы присоединенного груза, экспериментальное исследование
погрешности метода конечных разностей в зависимости от шага сетки
и величины присоединенной массы.
В разделе 1 излагаются хорошо известные результаты по теории
гильбертовых пространств и теории вариационных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве, содержащиеся в книгах
[1–8]. Эти результаты применяются в последующих разделах при исследовании прикладных задач на собственные значения. Операторные задачи на собственные значения изучаются в следующих книгах
[2,3,5–7]. Близкие результаты в вариационной форме излагаются в
книгах [1,9–11]. Описанные теоретические результаты используются
при исследовании прикладных задач на собственные значения математической физики и механики в книгах [1,4,6,9,10,11–13].
В разделе 2 приведены постановки задачи о собственных коле-
3баниях стержня с различными условиями на границе: жесткое закрепление, свободное условие и условие присоединения груза. Эти
задачи сводятся к нахождению собственных значений и собственных
функций дифференциальных задач на собственные значения с соответствующими граничными условиями. Изложение опирается на известный материал из книги [14].
В разделе 3 исследуются асимптотические свойства задачи о собственных колебаниях стержня с присоединенным грузом при бесконечном увеличении массы груза.
В разделе 4 построена сеточная схема для решения задачи о собственных колебаниях стержня с присоединенным грузом и описаны
проведенные численные эксперименты. В приложении А и приложении Б содержатся результаты расчетов и разработанная программа.
Сеточные методы для решения дифференциальных задач изучены
в книгах [12,15–17]. Теоретические исследования погрешности сеточных схем для задач на собственные значения проведены в монографии [13].
Купить