Введение 3
Глава 1. Теоретические основы темы «Последовательности» 6
1.1. Последовательность 6
1.2. Арифметическая прогрессия 8
1.3. Геометрическая прогрессия 10
Глава 2. Методические аспекты изучения числовых последовательностей и прогрессий в школьном курсе математики 13
2.1. Методические подходы к изучению последовательностей 13
2.2. Сравнительный анализ содержания темы в различных школьных
учебниках 16
Глава 3. Учебно-методические разработки по прогрессиям 23
3.1. Элективный курс по теме «Прогрессии: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ» 23
3.2. Урок на тему «Прогрессии вокруг нас» 30
Заключение 40
Приложение
Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий - арифметическая и геометрическая - сохранили свои названия. Сами названия
«арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление
наследства и др. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта (v в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии. Но правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский).
Существует несколько различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе, и учитель, особенно начинающий, легко может запутаться в том, какой подход является наиболее подходящим. При изучении числовых последовательностей в курсе средней школы тема «Последовательности» является вспомогательной и рассматривается лишь в объеме, необходимом для изучения арифметической и геометрической прогрессии. Однако в реальной жизни мы часто встречаемся с различными видами последовательностей. Многие из них используются в самых различных науках. Например, числа Фибоначчи используются в хронологии и периодизации древнейшей истории, в архитектуре, искусстве, музыке,
биологии, астрономии, при прогнозировании цен, определяют форму греческих ваз и спиральных галактик, строение подсолнуха и домика улитки, лежат в основе Фэн-шуй. В «Справочнике по целочисленным последовательностям» Н. Слоуна собрано и упорядочено 2300 целочисленных последовательностей, а значит и область их применения очень широка. Какую бы профессию не выбрал ученик в будущем, он обязательно встретится с каким-нибудь числовым рядом. К сожалению, в основной школе, где на изучение темы отводится 14 часов, трудно поддержать интерес учащихся из-за ограниченности приобретенных знаний. А важные свойства, необходимые для решения задач при сдаче ЕГЭ в 11 классе, вообще отсутствуют или перенесены в задачи и не воспринимаются школьниками как теоретические положения. Теоретический материал ученик применяет всегда, а свойства, заложенные в задачу, в лучшем случае, при изучении конкретной темы. Такое положение создает определенные трудности для дальнейшего изучения алгебры и на выполнение заданий ОГЭ и ЕГЭ. Все вышесказанное и обуславливает актуальность выбора темы для данной исследовательской работы. Кроме того, большие трудности при изучении темы «Прогрессии» в школьном курсе возникают из-за несоответствия между сравнительно большим объемом содержания и довольно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы.
Объектом исследования является процесс обучения математике в курсе средней школы.
Предмет исследования - методика изучения арифметической и геометрической прогрессий в школьном курсе математики.
Цель работы - обобщить, систематизировать и изложить методические особенности изучения последовательностей в школьном курсе математики
Задачи исследования:
1. Изучить школьные учебники по математике, научную и методическую литературу в соответствии с темой исследования; проанализировать учебно-методические комплекты по алгебре разных авторских коллективов.
2. Систематизировать и изложить теоретические сведения и методические рекомендации по обучению школьников арифметической и геометрической прогрессиям в школьном курсе математики.
3. Разработать элективный курс по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.
4. Разработать урок по теме «Прогрессии вокруг нас» для учащихся 9-го класса.
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанный элективный курс и урок, а также систематизированные в ходе исследования методические особенности обучения последовательностям могут быть использованы учителями математики при изучении данной темы в школе.
В данной выпускной квалификационная работе были рассмотрены основные методы решения задач на прогрессии, изучаемые в курсе средней школы. Изучение прогрессий начинается в 9 классе, но так как их применение достаточно широко распространено в математике, то работа с прогрессиями продолжается и в 10-11 классах средней школы. Также рассмотрены задачи повышенной сложности и задачи на применение свойств прогрессий при решений тригонометрических и геометрических задач. Рассмотрены и подробно решены задачи предлагаемые на ОГЭ и ЕГЭ. Проведен подробный анализ школьных учебников, по которым ведется преподавание алгебры в 9 классе средней школы. На основе имеющихся методических рекомендаций получены следующие выводы:
1. Прогрессии являются фундаментальный основой для изучения числовых рядов при дальнейшем обучении.
2. Преподавание темы «Прогрессии» требует тщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть разработки эффективной методики.
3. Изучение прогрессий будет более эффективным, в том случае
когда: перед введением прогрессий проведена достаточно широкая
пропедевтическая работа с последовательностями;
решение задач на вычисление суммы членов прогрессии осуществляется после изучения основных свойств прогрессий и последовательностей; каждое свойство прогрессии четко обоснованно и все они сведены в систему; числовая последовательность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как элемент арифметической и геометрической прогрессий.
4. Наиболее удачным для обучения темы как с методической, так и с содержательной точек зрения, является учебник Мордковича А.Г.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
