Тема: СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИВЕРГЕНТНОГО ТИПА ДЛЯ ПСЕВДОВЕКТОРНОГО СОЛЕНОИДАЛЬНОГО УНИМОДАЛЬНОГО ПОЛЯ

Фундаментальной проблемой механики сплошных сред является формулировка для каждого типа среды адекватного теоретически обоснованного эволюционного уравнения (см., например, [1]). Эта проблема тесно связана с основной проблемой неравновесной термодинамики - описанием имеющихся внутри каждой физической среды процессов передачи тепла, которые возникают вследствие протекающих в ней диссипативных процессов. Действительно, развитие механики и электродинамики сплошных сред, в последние десятилетия, оказалось сосредоточенным на проблеме конструирования адекватных эволюционных уравнений для описания динамики сред со сложной структурой. Решение этой проблемы стало очень востребованным в связи с тем, что развитие физики конденсированного состояния, естественным образом, привело к изучению сред, претерпевающих много-численных фазовые превращения, в результате которых среды изменяют свои качественные свойства. При этом для характеризации локального термодинамического состояния каждой такой среды приходится использовать дополнительные интенсивные термодинамические параметры, которые называются параметрами порядка изучаемой среды и которые связаны, как правило, со спонтанным нарушением какой-либо симметрии. Кроме того, естественным следствием указанной линии развития механики и электро-динамики сплошных сред, а также следствием изучения термодинамики сред, характеризуемых, наряду с традиционными интенсивными термодинамическими параметрами такими как плотность, температура, концентрации различных химических компонентов и т.д., различными дополнительными параметрами порядка различной математической природы явилось то, что появилась необходимость построения неравновесной термодинамики таких сред.
Одним из путей решения указанной проблемы является так называемый гамильтонов подход построения эволюционных уравнений сред со спонтанно нарушенной симметрией (см., например, [2, [3]). Этот подход оказался очень плодотворным при решении многих задач из указанного выше круга, а, с другой стороны, оказалось, что он обладает рядом недостатков и, по видимому, его основные положения являются слишком стеснительными при построении таких динамических уравнений, предсказания которых полностью согласовывались бы с экспериментальными данными. По этой причине, оказалось желательным создание альтернативного подхода при построении эволюционных уравнений для твердотельных сред с нарушенной симметрией. Причем такой подход должен быть более общим, чем указанный гамильтонов формализм для того, чтобы иметь возможность конструировать на его основе эволюционные уравнения для описания всех известных в настоящее время типов конденсированных сред. Ясно, что такую наиболее общую теоретическую схему такого подхода можно создать положив в ее основу только наиболее общие физические теоретические принципы, нерушимость которых не вызывает сомнений в любых мыслимых в настоящее время физических ситуациях.
По нашему мнению, решение общей проблемы конструирования эволюционных уравнений должно состоять из нижеследующих положений.
Пусть макроскопическое термодинамически равновесное состояние изучаемой сплошной среды, с физической точки зрения, вполне характеризуется фиксированным набором интенсивных термодинамических параметров {&; l = 1 У Ng. Согласно определению интенсивных термодинамических параметров, они являются плотностями соответствующих экстенсивных термодинамических функций изменяющихся пропорционально объему области пространства, занимаемой средой. Полнота набора {^l; l =1 У Ng означает, что любая измеряемая физическая характеристика среды может быть определена на основе известных значений термодинамических параметров из указанного списка. Более того, подразумевается, что этот полный набор термодинамических характеристик состояния среды является минимальным, то есть удаление из него какого-либо из параметров приведет к тому, что получаемый таким образом более узкий список параметров уже не описывает состояние среды однозначным образом.
Одним из основных положений механики сплошных сред является пред-положение о том, что локально в каждой пространственной точке, характеризуемой радиус-вектором х, состояние среды вполне описывается набором полей {^i(х); l =1 У Ng - функций, зависящих от пространственной точки х. Значения этих полей в каждой точке х представляют наборы значений плотностей {^i; l = 1У Ng в том случае, если бы весь объем среды находился в том же термодинамическом состоянии, что и ее объем расположенный в физически малой окрестности точки х.
В пространственно неравновесном состоянии значения полей {£i (х); l =
1 У Ng в каждой точке x изменяются со временем, то есть в рамках механики сплошных сред необходимо рассматривать эти поля зависящими от времени t.
Предполагается, что список полей £i(x, t), l=1 У N допускает разбиение на группы таким образом, что набор полей в каждой из них преобразуется посредством тензорных (спин-тензорных) представлений группы вращений 3евклидового пространства. Это положение является тезисом Эйнштейна о тензорном характере фундаментальных физических законов.
Таким образом, объектом изучения механики фиксированной сплошной среды являются наборы зависящих от времени полей {fi(x,t); l = 1 У Ng, x 2 Q C R3плотностей полного набора термодинамических характеристик среды, которые представляются наборами тензорных плотностей. Тогда возникает проблема формулировки тех эволюционных дифференциальных уравнений
определяемых операторами Lm[-], m = 1 У N - «генераторами» эволюции, где здесь и далее £ = (£I,...,£N). Решения такой системы уравнений должны описывать динамику рассматриваемой пространственно распределенной термодинамической системы в представлении ее в виде сплошной среды.
Можно сформулировать набор естественных с общетеоретической точки зрения требований, предъявляемых к конструированию этих уравнений, как «фундаментальных уравнений» механики сплошных сред. Таковыми являются следующие.
1. Операторы Lm[-], m = 1 У N не должны явно зависеть от времени t, что является следствием однородности времени - независимости динамики системы от выбора начала отсчета времени.
2. Операторы Lm[•], m = 1У N не должны явно зависеть от от пространственной точки x, что является следствием пространственной однородности (трансляционной инвариантности) - независимости динамики системы от выбора начала отсчета пространственных координат.
3. Совокупность эволюционных уравнений (1) преобразуется ковариантным образом при преобразованиях вращений группы О3, что является следствием изотропии пространства - независимости динамики системы от выбора направления координатных осей для ее описания.
К этой совокупностей требований, следующих из общих принципов теоретической физики, добавим еще требование локальности эволюционных уравнений. Математическая формулировка этого требования состоит в следующем.
4. Операторы Li[f ], l = 1А N(вообще говоря, нелинейные), действующие на £, являются дифференциальными и, более того, мы будем считать, что они имеют не выше второго.
Физическим источником этого требования является то, что динамика сплошных сред основана на описании эволюции физических полей, обладающих малыми градиентами, а каждая частная производная по пространственным переменным, неявным образом, пропорциональна с малым пара-метром - отношением пространственного масштаба r0порядка линейных размеров области, физическое состояние которой уже с большой точностью можно считать термодинамическим, к пространственному масштабу L,ха-рактеризующему неоднородности в системе. Здесь r0- линейный размер пространственной области, начиная с которого можно говорить, что в ее объеме содержится достаточно много частиц так, что для состояния этой системы частиц уже применимо локальное термодинамическое описание. В естественных окружающих нас физических средах в земных условиях r0 имеет порядок ~ 10-6см. В то же время масштаб L ~ 10-4А 1 см и более.
В связи с требованием 4, предъявляемым к эволюционным операторам Li[f], l = 1 А N, заметим, что их всегда можно представить в следующем каноническом виде
(цш = v„,(s[e])(m+ fi(o, (0.2)
где fi, l = 1 А N - функции от переменных набора £, которые называем источниками, и каждый дифференциальный оператор Slm[£] при фиксированном значении l = 1 А N представляет вектор c компонентами, нумеруемыми индексом m= 1, 2, 3. Каждый такой оператор представляет плотность потока физического поля fi(x,t) в пространственно временной точке (x,t).
В частном случае, если при некотором значении l источник fi(£) = 0, то уравнение (2) с соответствующим номером является с математической точки зрения уравнением дивергентного типа. В этом случае мы говорим, что это уравнение представляет собой локальный закон сохранения.
Перечисленные положения представляют собой совокупность довольно общих положений, сформулированных на основе общих физических принципов, которые имеют универсальных характер для всех физических сред. Однако, они определяют только лишь общую математическую структуру эволюционных уравнений. Они совершенно недостаточны для формулировки окончательного вида совокупности динамических уравнений, описывающих эволюцию состояний фиксированной изучаемой среды. Для получения окончательного вида системы уравнений требуются еще какие-то физические требования, связанные с соотношением между величинами тех или иных физических параметров - локальных характеристик среды. Однако, по нашему мнению, очень важной задачей является описание классов систем уравнений, характеризуемых определенным типом поведения наборов полей £(x) локальных термодинамических характеристик по отношению к преобразованиям вращения пространства. В настоящей роботе такая задача решается в том случае, когда набор £ состоит из одного псевдовектора, и при этом в описании термодинамического состояния среды нет никаких дополнительных (выделенных) векторных и тензорных величин, которые не являются пространственно распределенными характеристиками системы. На базе полученного описания класса эволюционных уравнений для указанного типа полей описаны все типы эволюционных уравнений, обладающие специальными свойствами их решений: унимодальностью и соленоидальностью. Решение этих задач может иметь непосредственное отношение к построению адекватных уравнений ферродинамики сферически симметричных ферромагнетиков в отсутствие внешнего магнитного поля.

Купить

В работе решена задача об описании класса всех эволюционных уравнений с дифференциальным эволюционным оператором по пространственным производным дивергентного типа для псевдовекторного поля M(x). При этом на возможный выбор эволюционного оператора наложены дополнительные условия: он должен содержать пространственные производные не выше второго порядка, должен быть ковариантным при преобразованиях группы О3(повороты и отражения евклидового пространства) и при этом должен быть сферически симметричным. Далее, из этого класса эволюционных уравнений выделен класс таких из них, которые обладают инвариантом M2(x,t) = M2.
В результате проведенного исследования оказалось, что все уравнения исследуемого класса имеют следующий вид
M = 7i".kiV MkrMl + У2".ыV MJMkMmVmMi+
+73"jki Vk MiViMj+ 74 Vj "jki Mk Vi Mi+ 75Vj Mi"jki Vk Mi+
+7в"ш(Vj MkViMj — ViMkVj M^ . (1)
с произвольными постоянными 7aи a =1 У 6. В частности, если все постоянные 7а = 0 при a= 2 У 6 из этого общего уравнения получается сферически симметричное уравнение Ландау-Лифшица для плотности магнитного момента ферромагнетика в отсутствии внешнего магнитного поля.
В том случае, если накладывается дополнительное условие на термодинамические силы, которое состоит в том, что требуется сохранение со- леноидальности поля M, правая часть последнего уравнения упрощается таким образом, что остаются только два линейно независимых слагаемых Mi = 7("ikiVMkVjMl-"jkiVkMtV.Mj)+7,("JkiVMkViM.-ешV,MkViMJ).
Заметим, что найденные эволюционные уравнения, в общем случае, не обладают свойством инвариантности относительно замены t) — t, M ) —M. А именно, такой тип инвариантности, которым обладает уравнение Ландау-Лифшица, нарушается в том случае, когда хотя бы одна из постоянных 7а, a= 3У 6 отлична от нуля. Тогда можно ожидать, что наличие таких слагаемых приводит к эволюционным уравнениям, которые не обладают обратимостью движения.

Купить