Введение 3
Глава 1. Аналитическое решение 7
1.1. Постановка задачи 7
1.2. Метод возмущений 9
1.3. Эволюционное уравнение 12
Глава 2. Численное решение 16
2.1. Молекулярное моделирование 16
Заключение 20
Литература
Создание бездефектных полупроводниковых пленок и оптических волокон является одним из приоритетных направлений современной микро- и оптоэлектроники. Однако, многие экспериментальные и теоретические исследования отмечают, что уже на стадии выращивания образуются микропоры и трещины [1-3]. В дальнейшем, в процессе эксплуатации данные дефекты эволюционируют, что непременно приводит к ухудшению свойств и снижению срока службы приборов [4]. Изучение пористых материалов также вызывает интерес в связи с использованием их при создании фильтров и детекторов в наноэлектронике. Кроме того, такого рода материалы зачастую находят применение в имплантологии. Их свойства близки к параметрам человеческой кости, что приводит к хорошей интеграции с биологическими тканями [5]. При этом стоит отметить, что увеличение пористости ведет к деградации прочностных и упругих характеристик. Таким образом, исследование эволюции пористой структуры при различных схемах нагружения представляет значительный интерес с точки зрения механики разрушения.
Хорошо известно, что дефекты в материалах могут возникать не только на стадии их создания, но и в ходе эксплуатации. Однако, классические модели механики разрушения не позволяют описать процесс их зарождения и роста, что стимулировало целый ряд исследований по разработке новых теоретических моделей. Так, к примеру, зарождение трещин на поверхности твердого тела, в первую очередь, связывают с морфологическими изменениями ее формы, которые происходят в результате действия поля механических напряжений. Основной движущей силой таких преобразований является стремление системы к минимизации упругой и поверхностной энергии, что в силу пониженной устойчивости поверхностных атомных слоев приводит к диффундированию атомов вдоль поверхности. Этот процесс приводит к образованию микрорельефа, который в дальнейшем при определенных условиях эволюционирует в острые трещинообразные впадины.
В работах Азаро и Тиллера был сформулирован подход, при котором свободная поверхность твердого тела рассматривалась как фазовая граница между материалом и средой [6]. При этом предполагалось изменение ее формы со временем, что позволило вывести эволюционное уравнение и получить условия неустойчивости поверхности к малым синусоидальным возмущениям. В качестве основного механизма потери устойчивости рассматривалась поверхностная диффузия, движимая разностью химических потенциалов на вершине и дне впадин. При этом было отмечено, что критическое значение длины волны прямопропорционально отношению поверхностной энергии к упругой энергии деформации, вычисленной на возмущенной поверхности. Этот факт в дальнейшем был подтвержден Гринфельдом и Сроловитцем независимо друг от друга [7, 8]. В работах Грилье и Пыткина благодаря учету постоянного поверхностного напряжения выявлена чувствительность процесса волнообразования поверхности тела к изменению знака действующих продольных напряжений [9-10].
В дальнейшем подход, разработанный Азаро и Тиллером, был использован для исследования поверхностной потери устойчивости пленочных покрытий в предположении, что форма потери устойчивости захватывает лишь верхнюю часть поверхностного слоя [6]. Как и следовало ожидать, морфология поверхности в этом случае зависела от толщины пленки и относительной жесткости пленочной системы. Стоит также отметить совместные работы Кима и Влассака, а также Костырко и Шувалова, в которых предложенный ранее метод был обобщен для многослойного пленочного покрытия [11-13]. Однако, существует и другой подход к моделированию потери устойчивости пленочных структур, при котором предполагается, что поверхностное покрытие ведет себя как пластина, лежащая на упругом основании. Таким образом, происходит искривление не только свободной, но и межфазной поверхности. Данный подход был реализован в работах Морозова, Паукшто, Товстика, Семенова, где рассмотрены вопросы устойчивости однослойных и многослойных пластин, лежащих на упругом основании, с учетом термодинамических характеристик [14-16].
Поверхностная диффузия является ведущим, но не единственным механизмом формирования рельефа поверхности. Маллинз в своих работах сделал предположение, что при высоких температурах благодаря капиллярному эффекту возникает движение атомов вглубь материала, т. е. в приповерхностном слое имеет место объемная диффузия, также влияющая на изменение формы поверхности тела [17]. Им было показано, что эффект этого влияния зависит от уровня температуры и неоднородности распределения напряжений из-за искривления поверхности. В исследованиях Пэнэта, Шиа, Кэхилла проведен анализ совместного влияния объемной и поверхностной диффузии на морфологическую устойчивость поверхности твердого тела [18].
Если же говорить о зарождении микротрещин в объеме материала, то здесь также может быть предложена модель, основанная на термодинамическом подходе. Так, микропоры в твердом теле могут формироваться при слиянии вакансий. На стадии роста их форма подвержена различным флуктуациям: в результате действия механической нагрузки происходит перераспределение атомов на поверхности зародыша, в силу чего он начинает расти и менять свою форму. В работе Гао путем минимизации полной энергии системы было показано, что цилиндрическая пора может менять свою форму на менее симметричную при действия критической нагрузки [19]. Чуть позже были получены аналогичные результаты, но уже с учетом уравнений термодинамики [20]. Далее этот подход был применен для исследования кинетики роста зародыша [21]. В исследовании Хе и Хуанга была предложена конечно-элементная модель развития эллипсоидальной трещины, основанная на использовании диффузионных уравнений [22].
Заметим, что во всех вышеперечисленных работах не учитывался тот факт, что физико-механические свойства приповерхностных слоев существенно отличаются от аналогичных свойств в глубине тела. Стоит отметить, что на макроуровне это различие практически не отражается на свойствах и поведении всего тела в целом. Однако, в случае наноразмерных структур это различие проявляется, в частности, в заметном влиянии поверхностных напряжений на физические свойства материала [23]. Кроме того, поверхностные напряжения являются причиной размерных эффектов, т.е. зависимости характеристик материала от параметра размерности дефектов [24].
Цель настоящей работы заключается в исследовании процесса морфологической трансформации микропор цилиндрической формы под действием диффузионных процессов с использованием метода, который был разработан ранее для пленочных покрытий [25, 26]. Считается, что напряженное твердое тело находится в условиях плоской деформации. В результате действия механической нагрузки происходит перераспределение атомов на поверхности поры, в силу чего она начинает расти и менять свою форму. На основе уравнений термодинамики и полученного ранее в работе [27] решения о напряженно-деформированном состоянии твердого тела с почти круговым отверстием проанализировано влияние физических и геометрических параметров на устойчивость дефектов. С использованием метода молекулярной динамики исследована кинетика диффузионного роста.
В настоящей работе на основе уравнений термодинамики и плоской теории упругости разработана теоретическая модель, которая позволяет исследовать процесс роста зародыша микропоры в изотропном твердом теле. Так, в предположении, что в результате действия механической нагрузки происходит перераспределение атомов на поверхности поры, получено эволюционное уравнение, описывающее изменение формы поверхности зародыша в случае малого начального возмущения. Используя решение задачи о напряженно-деформированном состоянии твердого тела с почти круговым отверстием [27], получен и проанализирован критерий морфологической потери устойчивости формы зародыша. Так, данный критерий позволяет определить критическое значение радиуса микропоры в изотропном материале, упругое поведение которого описывается параметрами Ламе, при фиксированном значении усилий, а также критическое значение усилий при фиксированном значении радиуса. Однако, в силу того, что в основу решения задачи морфологической потери устойчивости легло первое приближение метода возмущений по малому параметру, представленная модель позволяет лишь предсказывать рост зародыша.
В силу того, что в процессе роста форма микропоры может флуктуировать, было решено исследовать кинетику данного феномена. Для этого было предложено использовать метод молекулярной динамики. На основании полученного критерия были выбраны физические и геометрические параметры образца, при которых происходит рост зародыша. С использованием программного пакета LAMMPS была построена численная модель, позволяющая описать особенности перестройки атомной структуры кристаллита меди вблизи цилиндрического отверстия при механическом нагружении.
Разработанный подход позволяет точно спрогнозировать рост и изменение формы микропор, находящихся в твердом упругом теле. Таким образом, он может быть использована для формирования управляемых дефектов при производстве пористых материалов. Использование предложенной модели на практике поможет улучшить имеющиеся или разработать новые методики производства устройств и материалов в областях имплантологии, микро- и оптоэлектроники.
В дальнейшем предполагается обобщить модель на случай изменения поверхностной энергии при деформировании, что позволит рассмотреть влияние поверхностных напряжений, а также учесть размерный эффект при переходе от микропор к макроотверстиям.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
