ВВЕДЕНИЕ 3
§1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности 5
§2. Операции над бинарными отношениями 7
§3. Полугруппа. Идеалы 10
§4. Свойства отношений Грина 13
§5. Ъ -строение полной полугруппы преобразований Тх на множестве X 18
§6. D -строение полугруппы Т3 21
§7. Разложение коммутативной полугруппы на архимедовы компоненты. Сепаративные полугруппы 23
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 35
ЛИТЕРАТУРА 37
В окружающем нас мире существуют различные свойства объектов, например свойства, характеризующие связи между несколькими объектами такие как: свойства "Татьяна старше Алексея", "быть родственником", "быть меньше, больше" относятся к парам объектов. Такие свойства принято называть отношениями. Свойства, относящиеся к парам объектов, называются - бинарными отношениями, свойства, относящиеся к наборам из n объектов, называют n - арными отношениями.
В математике понятие бинарного отношения сформировалось к концу XIX началу XX веков, когда разговоры по определению числовой функции, которую дал Дирихле, нуждалась в уточнении и обобщениям разного рода. В результате этого появились понятия отображения или функции с произвольными областями определений и значений. Понятие бинарного и, вообще n - арного отношения можно представить как следующий этап обобщения понятия функции.
Бинарные отношения, то есть отношения между двумя объектами является предметом исследования экономики, географии, химии, физики, математики и других наук.
Тема нашей выпускной квалификационной работы: «Отношения в полугруппах».
Целью нашего исследования является выделение основных свойств отношений на множестве, с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией.
Исходя из цели исследования, мы поставили перед собой следующие задачи:
1) Изучить, понятие бинарного отношения, свойства бинарных отношений, отношения эквивалентности и порядка. А так же операции над бинарными отношениями.
2) Ввести понятия полугруппы, идеала. Определить отношения Грина.
3) Изучение разложения коммутативной полугруппы на архимедовы компоненты. Сепаративные полугруппы.
Объект исследования: теория полугрупп.
Предмет исследования: бинарные отношения, операции над ними. Отношения Грина, полугруппы.
Для решения поставленных задач были использованы такие методы исследования:
1) Анализ литературы по проблеме исследования.
2) Выделение и рассмотрение отдельных признаков и свойств в полугруппах.
Структура работы определяется последовательностью решения задач исследования. Работа состоит из введения, пяти параграфов, заключения и списка литературы.
По изучению теории полугрупп за последние десятки лет появилось не одна сотня работ, которые доказывают, что это достаточно развитая и глубокая самостоятельная теория.
В представленной выпускной квалификационной работе получены следующие результаты.
Изучены свойства бинарных отношений, отношение эквивалентности, операции над бинарными отношениями, определение полугруппы, идеала и архимедовой полугруппы, свойства отношений Грина, сепаративные полугруппы и соответствующие им теоремы.
Понятие полугруппы и сам термин полугруппа возникли в начале 20-х годов прошлого века. На первых порах ее развития она имела бедную аксиоматику и вызывала сомнения, а сможет ли она послужить фундаментом для отдельной, самостоятельной весьма обширной теории. Уже к середине двадцатого века эти сомнения ушли в прошлое. Для создания общей алгебраической теории понадобилось оформить соответствующее понятие, которым и явилось понятие полугруппы. Основная роль алгебраической теории полугрупп в математике, по-видимому, и состоит в том, что эта теория является абстрактным учением об общих преобразованиях.
Большой вклад по развитию теории полугрупп среди отечественных математиков внесли: Ляпин Е.С., Скорняков Л.А., Сушкевич А.К. и другие. Современные труды по теории полугрупп включают работы таких русских исследователей как Свиридюк Г.А., Федоров В.Е., Шеврин Л.Н. и другие.
В настоящее время популярным направлением является использование методов теории полугрупп для изучения производных дробного порядка, используя аналитические методы, а так же численные методы исследования. Понятие полугруппы есть обобщение понятия группы. Из аксиом группы остается лишь одна. Всякая полугруппа изоморфна некоторой полугруппе преобразований.
Примеры полугрупп в математике весьма многочисленны, например:
1. Аддитивная полугруппа натуральных чисел,
2. Мультипликативная полугруппа натуральных чисел,
3. Множество всех квадратных матриц данного порядка с элементами, например из Z, относительно умножения является полугруппой.
