Исследования процессов распространения гармонических волн в упругом пространстве являются актуальными в различных областях науки. Волной называется любое изменение состояния среды, распространяющееся с конечной скоростью и несущее энергию. Все волны можно разделить на два типа: упругие и электромагнитные. Упругие волны - это волны, связанные с колебаниями частиц при механической деформации упругой среды (жидкой, газообразной, твердой), при этом осуществляется перенос энергии упругой деформации при отсутствии переноса вещества. При определенных условиях в структурах, которые называются волноводами, волны могут распространяться без источников. Волноводные структуры могут быть естественно образованными или созданными искусственно. Естественные волноводы, например, встречаются на всех уровнях строения Земли: атмосфере, гидросфере и литосфере. Исследованием прикладных вопросов естественных волноводов занимается в первую очередь сейсмология и океанология [1]. Ограниченная литосферой и верхним слоем мантии, астеносфера представляет собой крупный сейсмический волновод. В литосфере волноводные структуры встречаются одновременно в земной коре и в мантии [2], [3]. Для данных образований характерна структурная расслоенность, каждый слой которых, при прохождении сейсмических волн, ведет себя как волновод. В исследовании гидросферы Земли океан на низких частотах представляет собой акустический волновод [4], [5]. Кроме того, океанические слои жидкости с пониженной плотностью представляют собой волноводы, в которых волны перемещаются с внутренним отражением [6].
Одним из ведущих направлений исследований волноводов является нахождение спектра волноводных структур [7], [8]. Данное направление чаще встречается в задачах сопряжения, когда поле в каждой сопрягаемой части представляется в виде суперпозиции собственных волн. Например, в задачах дифракции на стыке двух волноводов поля в каждом из них удобно искать в разложениях по собственным волнам [9]. Кроме того, при дифракции упругих волн на слоях различной структуры определение спектра является важным этапом для понимания распределения поля в слое и объяснения особенностей прохождения волн [10], [11].
В настоящей работе выведены дисперсионные уравнения для волноводных структур, образованных закрепленным или свободным трансверсально-изотропным слоем и сопряженной с ним изотропной полуплоскостью, а также для волноводной структуры, образованной закрепленным анизотропным слоем и сопряженной с ним изотропной полуплоскостью. Найдены интервалы существования дискретного и непрерывного спектров. Построены дисперсионные кривые для дискретного спектра. В среде Microsoft Visual Studio Express 2012 C# разработан программный комплекс для отыскания частот исследуемых волноводных структур. Проведены численные эксперименты для различных реальных сред.
В работе рассмотрены полуоткрытые упругие волноводные структуры, образованные закрепленным или свободным трансверсально-изотропным слоем и сопряженной с ним изотропной полуплоскостью, а также волноводная структура, образованная закрепленным анизотропным слоем и сопряженной с ним изотропной полуплоскостью. Получены общие решения систем дифференциальных уравнений, которые описывают распространение упругих волн в трансверсально-изотропной и анизотропной средах. Используя условия сопряжения на стыке полосы и полупространства и граничные условия, а также явные представления полей в каждой из сред, получены характеристические уравнения относительно собственных значений (продольных постоянных) трансверсально-изотропных и анизотропной волноводных структур. Рассмотрены отдельные интервалы собственных значений. Найден диапазон, в котором значения продольных постоянных образуют дискретный спектр.
Исследованы зависимости значений вещественных продольных постоянных от частоты колебаний в случаях трансверсально-изотропной и анизотропной волноводной структурах. Сделан вывод, что волноводные моды могут существовать только в том случае, когда подложка (полупространство) является акустически более жестким веществом, чем слой. Показано, что в случае фиксированной границы собственные значения ограничены снизу и сверху величинами, которые соответствуют волновым числам состыкованных сред, а в случае свободной границы появляется еще и поверхностная волна. Выделен интервал, в котором зарождаются волноводные моды. Показано, что характеристические кривые нигде не пересекаются.
В среде Microsoft Visual Studio Express 2012 на языке C# разработан программный комплекс, позволяющий рассчитывать корни характеристических уравнений рассматриваемых в работе волноводных структур, записывать полученные данные в текстовый файл и строить графики собственных значений.
