Введение 3
Глава 1. Полные арифметические последовательности натуральных
чисел 5
1.1 Общее представление о полных арифметических последовательностях
чисел 5
1.2 Примеры полных целочисленных последовательностей и их свойства.
Числа Фибоначчи и Трибоначчи 6
1.3 Деление плоскости на части, с помощью прямых и окружностей 17
1.4 Критерий полноты арифметической последовательности. Результаты
Брауна 18
Глава 2. Исследование полноты арифметической последовательности с
помощью критерия Брауна 24
2.1 «Практические» последовательности 24
2.2 «Практические» последовательности в задачах с применением Maple-
программ 30
Заключение 47
Список литературы
Как известно, последовательность целых чисел (a„)называется полной, если каждое натуральное число можно представить в виде суммы чисел этой последовательности, используя каждый элемент не более одного раза. Например, последовательность степеней двоек {1, 2, 4, 8, ...}, служащая базой двоичной системы счисления, является полной арифметической последовательностью, поскольку каждое целое положительное число можно представить в виде суммы степеней двоек.
Полными арифметическими являются также последовательности чисел Фибоначчи, обобщенные «-шаговые числа Фибоначчи, последовательности чисел, связанные с делением плоскости на наибольшее количество частей с помощью окружностей, а также последовательности собственных делителей, последовательности так называемых «практичных» чисел и другие.
Цель квалификационной работы — рассмотреть виды полных арифметических последовательностей, изучить их свойства, вывести основные тождества, связывающие их между собой, и научиться применять их при решении задач. Также рассмотреть признак полноты целочисленной последовательности — критерий Брауна.
Задачами квалификационной работы в связи с указанной целью являются:
1. Изучить основные свойства полных целочисленных последовательностей.
2. Сформулировать и доказать критерий Брауна и его обобщения. Привести примеры использования этого критерия.
3. Разработать несколько программ на применение критерия полноты арифметической последовательности, а также программы для выражения произвольного натурального числа через элементы полной последовательности, используя пакет символьной математики Maple.
Во второй главе на основании критерия Брауна рассматриваются практичные последовательности, а также решения задач с данными последовательностями в пакете Maple.
При написании квалификационной работы мы опирались, в основном, на формулы и тождества, содержащиеся в статье.
В заключение подводятся итоги работы, формулируются окончательные выводы по рассматриваемой теме.
Приведено большое количество примеров различных полных арифметических последовательностей: последовательность чисел Фибоначчи, обобщенные «-шаговые числа Фибоначчи, последовательность «практических» чисел, последовательность гармоничных чисел, последовательности чисел, связанные с делением плоскости на наибольшей количество частей с помощью окружностей и прямых. Также были разработаны программы на применение критерия полноты арифметической последовательности, с использованием пакета символьной математики Maple.
Работа может быть использована в качестве методического пособия в учебном процессе учителями школ, а также при разработке исследовательских проектов для учеников средних и старших классов.
