ВВЕДЕНИЕ 3
1 Аналитические методы решения интегральных уравнений Фредгольма первого
рода 7
1.1 Метод Пикара 7
1.2 Метод последовательных приближений 11
2 Метод регуляризации Тихонова 13
3 Численные эксперименты 21
3.1 Тестовый пример 21
3.2 Решение типовых задач, построенных методом Пикара 22
3.3 Решение типовых задач, построенных методом последовательных
приближений 25
4 Программный комплекс 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 34
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 36
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Листинги программ на языке Matlab
Уравнения Фредгольма первого рода являются типичными при математической обработке данных экспериментов. Задача состоит в следующем. Изучается явление, характеристики которого недоступны для непосредственного измерения. Можно измерить косвенные проявления процесса, так называемые «исходные данные». Для изучения явления строится теоретическая модель, определяющая функцию ядра [1]. Тогда интересующие нас характеристики могут быть найдены из интегрального уравнения:
..........
В данной магистерской диссертации получены точные решения модельных задач методами Пикара и последовательных приближений. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода аппроксимировано конечномерным. Изложен регуляризирующий алгоритм Тихонова решения построенной алгебраической задачи. Он реализован в виде комплекса программ в системе Matlab. Построены и проанализированы графики решения тестовых задач для разных значений параметра регуляризации.
Работа состоит из введения, четырех разделов, заключения и приложения. Введение раскрывает актуальность работы и ее практическую значимость. В первом разделе представлены аналитические методы решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Во втором разделе приведен метод регуляризации Тихонова. В третьем разделе изложены проведенные вычислительные эксперименты. В четвертом разделе описан программный комплекс, листинги программ вынесены в приложение. В заключении подводятся итоги исследования и формулируются окончательные выводы.
Основные результаты докладывались на студенческой научной конференции 2018 года.
Некорректно поставленные задачи в последние десятилетия стали объектом интенсивного исследования. В данной работе был разработан программный комплекс, реализующий регуляризирующий алгоритм Тихонова. На рисунках мы видим, что в зависимости от параметра регуляризации решение существенно меняется. А именно, чем меньше параметр регуляризации, тем выше точность решения, но меньше устойчивость вычислений, с увеличением параметра регуляризации, наоборот, точность счета снижается, но устойчивость возрастает.
Для достижения поставленной цели были выполнены следующие задачи:
1) Сформулирована математическая постановка задачи.
2) Проведена аппроксимация правой части и ядра интегрального уравнения.
3) Построено решение интегральных уравнений аналитически, методом Пикара и методом последовательных приближений.
4) Изложен метод регуляризации Тихонова.
5) Осуществлено определение оптимального значения параметра регуляризации при решении модельных задач.
6) Приведены графики решения типовых задач для разных значений параметра регуляризации.
7) Разработан программный комплекс в системе MATLAB, с помощью которого получено решение вышеописанных задач.
По результатам работы программного комплекса можно сделать заключение:
1) Метод регуляризации Тихонова является надежным и устойчивым средством решения некорректно поставленных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.
2) Параметр регуляризации следует выбирать из соображений
компромисса между точностью и устойчивостью вычислений.
3) Система Matlab позволяет быстро и эффективно реализовывать и тестировать вычислительные алгоритмы, такие как метод регуляризации Тихонова.
