Введение 4
Глава I. Метод распространяющихся волн 7
§1. Формула Даламбера 7
§2. Физическая интерпретация 9
§3. Неоднородное уравнение 14
§4. Устойчивость решений 17
§5. Полуограниченная прямая и метод продолжений 19
§6. Задачи для ограниченного отрезка 27
§7. Дисперсия волн 31
Глава II. Использование системы Maple для исследования начальных и начально-краевых задач 34
§1. Колебания бесконечной струны. Формула Даламбера 34
§2. Колебания полубесконечной струны. Формула Даламбера 41
Заключение 50
Список использованной литературы 51
Актуальность исследования. Дифференциальные уравнения в частных
производных, которые встречаются при решении физических задач,
называют также уравнениями математической физики.
В частности,
одномерное волновое уравнение описывает колебания струны, двумерное —
колебания мембраны.
В данной работе мы остановимся только на уравнении колебаний
струны.
Оно впервые появилось почти одновременно в работах Даниила
Бернулли (1700 – 1782), Жана Лерона Даламбера (1717 – 1783) и Леонарда
Эйлера (1707 – 1783), позднее — в работах Жана Батиста Фурье (1768 –
1830).
Бернулли получил решение уравнения в виде тригонометрического ряда,
Даламбер и Эйлер представили решение в виде прямой и обратной волн,
перемещающихся со скоростью a, что и дало название уравнению. Фурье
показал эквивалентность этих двух решений.
В данном исследовании излагаются классические методы решения
уравнения свободных колебаний струны: метод Даламбера для бесконечной
струны, метод продолжений для полубесконечной и конечной струны.5
Уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического
типа. Каждую точку струны можно
Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости
(x,u) и что вектор смещения перпендикулярен в любой момент времени к
оси x; тогда процесс колебания можно описать одной функцией u(x,t).
Существует два метода для решения уравнений колебаний струны:
- Метод Даламбера (метод распространяющихся волн);
- Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных).
В данной работе мы рассмотрим первый метод – метод
распространяющихся волн.
Цель исследования: использование системы Maple для исследования
начальных и начально-краевых задач.
Задачи:
- рассмотреть и изучить метод распространяющихся волн;
Объект исследования: гиперболические уравнения с частными
производными.
Предмет исследования: уравнение колебания струны.
Методы исследования: метод Даламбера, другие методы
математического анализа.6
Научная новизна: использована система Maple для исследования
начальных и начально-краевых задач
Значимость работы:
изложены основы метода распространения волн (метода
Даламбера);
приведены примеры решения задач в системе Maple для
бесконечной и полубесконечной струн.
В данной работе был рассмотрен и изучен метод распространяющихся
волн для уравнений колебаний струны. Помимо этого, были рассмотрены
примеры решения задач для различных видов струн и стержней.
В первой главе мы познакомились с формулой Даламбера, ее
физической интерпретацией, неоднородными уравнениями, устойчивостью
решений, с полуограниченной прямой, задачами для ограниченного отрезка и
методом продолжений, а также дисперсией волн.
Во второй главе подробно рассмотрели использование системы Maple
для исследования начальных и начально-краевых задач. А именно:
- задачи для бесконечной струны;
- задачи для полубесконечной струны;
