Введение 3
1. Постановка и дискретизация задачи 5
1.1 Физическая постановка задачи 5
1.2 Математическая постановка задачи 8
1.3 Решение 11
1.3.1 Переход в параметрическую плоскость. Преобразование уравнений . 11
1.3.2 Сгущение сетки. Преобразование уравнений 17
1.3.3 Сетка. Дискретизация задачи 22
2. Численное решение задачи 26
2.1 Постобработка и визуализация полученных результатов 26
2.2 Решение оптимизационной задачи для расхода нефти 35
Заключение 40
Список литературы 41
Приложение. Тексты программ 42
Взаимодействие нескольких фаз находящихся в жидком агрегатном состоянии с различными плотностями и вязкостью на данный момент является наиболее актуальным и часто-рассматриваемым процессом современной гидромеханики.
Стратифицированное течение встречается в узком диапазоне жидкостей. Для такого течения характерны достаточно низкие скорости потока, в силу конечной разности плотностей. В качестве исследования был рассмотрен пример стратифицированного течения [1, 2], в котором на структуру потока влияют капилярные явления [3]. Явления капиллярности связаны с взаимодействием между молекулами жидкости и твердого тела, с явлением смачивания. Под смачиванием следует понимать совокупность явлений на границе соприкосновения трёх фаз, одна из которых обычно является твёрдым телом и две другие - несмешиваемые жидкости. При капиллярных явлениях происходит искривление поверхности жидкости, что в свою очередь влечет к появлению дополнительного давления, под действием которого уровень жидкости в капиллярах либо поднимается, если жидкость смачивает его поверхность, либо опускается, если жидкость несмачивает поверхность капилляра. В случае если жидкость смачивает стенки капилляра, образуется вогнутый мениск. Количественной характеристикой, определяющей интенсивность смачивания, выступает такое понятие, как краевой угол смачивания. Данный угол образован поверхностью твёрдого тела с касательной, проведённой к поверхности жидкости из точки её соприкосновения с поверхностью. По величине угла смачивания, образующегося при контакте воды, нефти, наряду с другими параметрами можно судить о нефтевымывающей способности. В связи с этим изучению явлений смачивания в нефтепромысловом деле уделяется очень большое внимание.
Экспериментальное исследование двухфазных течений представляет большую сложность. В работе [4] продемонстрировано экспериментальное исследование двухфазного течения в цилиндрическом капилляре. Но возможность реализации таких эксперименталных исследований осложняется трудозатратами на создание специальных установок и соблюдением методик проведения экспериментов. По этой причине количество эмпирических данных, позволяющих дать подробное исследование течения, крайне мало, а имеющиеся теоретические данные являются крайне ненадежными. Также в работах [5, 6, 7] проведено исследование течения жидкости в трубе, но с межфазной границей, представляющей собой горизонтальную плоскость. В связи с этим было предпринято численное исследование стратифицированного ламинарного двухфазного течения с дугообразной межфазной границей, возникающей из-за наличия капилярных эффектов в трубе круглого поперечного сечения.
В рамках данной работы было реализовано численное решение задачи об установившемся течении вязкой двухфазной жидкости в горизонтально расположенной цилиндрической трубе круглого поперечного сечения. На основании перехода из физической плоскости во вспомогательную стало возможным решение задачи в прямоугольной области, что упрощает реализацию решения. Было дано комплексное исследование рассматриваемого течения, посредством анализа параметров, влияющих на структуру и поведение потока.
При решении задачи оптимизации было обнаружено, что при течении нефти по трубе в нее выгодно добавлять некоторое количество воды. Показано, что при достаточно большом отношении вязкостей вода, находящаяся в нижней части трубы и движущаяся со значительно большей скоростью, увлекает за собой нефть на межфазной границе. Данный факт обеспечивает увеличение расхода нефти. Также исходя из полученных значений характеристик рассматриваемого потока, отраженных в таблицах (Таблица 2, Таблица 3, Таблица 4) было выяснено, что при малых значениях краевого угла смачивания, в частности при в0=п /12 (Таблица 2) расход нефти достигает наибольшего значения, нежели при больших значениях 0О.
