АННОТАЦИЯ 2
ВВЕДЕНИЕ 5
1 МЕТОДЫ И СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 6
1.1 Классификация интегральных уравнений 6
1.1.1 Линейные интегральные уравнения 6
1.1.1.1 Уравнение Фредгольма 2-го рода 6
1.1.2 Нелинейные интегральные уравнения 8
1.1.2.4 Уравнение Вольтерра 9
1.2 Методы решения интегральных уравнений 9
1.2.1 Преобразование Лапласа 9
1.2.2 Метод последовательных приближений 9
1.2.3 Метод резольвент 10
1.2.3 Метод сведения к алгебраическому уравнению 11
1.2.3 Метод замены интеграла конечной суммой 12
1.3 Метод сплайнов 12
1.3.1 Линейный сплайн 15
1.3.2 Кубический сплайн 16
1.3.3 Сплайн Акима 18
1.3.4 Кривые Безье и В-сплайны 19
1.3.5 Полиномиальные сплайны 21
1.3.6 Параболические сплайны 22
1.4 Вывод к первому разделу 24
2 РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЛЬТЕРРА И
ФРЕДГОЛЬМА I РОДА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА СПЛАЙНА 25
2.1 Интегрирование и дифференцирование многомерных функций .... 25
2.2 Решение интегральных уравнений Вольтерра I рода 31
2.3 Решение интегральных уравнений Фредгольма I рода 40
2.4 Метод кубического сплайна 44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 49
В век информационных технологий все чаще обращаемся к интернет ресурсам для решения интегралов или интегральных уравнений с целью экономии времени. Некоторые задачи можно быстро решить аналитически, а для других необходимо время чтобы использовать численные методы.
Существует много методов и способов решения интегральных уравнений. Некоторые из них трудоемки и для них необходимо не мало времени чтобы разобраться как их применять, как работать с формулами и т. д.
Сплайны имеют довольно многочисленные применения как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях. В частности, сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах компьютерного моделирования. Сплайн функции были известны математикам давно, но интенсивное изучение началось примерно в середине XX века. Впервые в 1946 году Исаак Шёнберг употребил этот термин в качестве обозначения класса полиномиальных сплайнов. До 1960 годов сплайны были в основном инструментом теоретических исследований, они часто появлялись в качестве решений различных задач. С развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании, что продолжается и по сей день.
Цель: Разработать способ решения интегральных уравнений с использованием метода сплайнов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) анализ существующих методов решения интегральных уравнений;
2) рассмотреть виды сплайнов и изучить способы их построения;
3) разработать способ решения интегральных уравнений.
В ходе выполнения выпускной квалификационной работы был выполнен анализ предметной области, изучен вопрос классификации интегральных уравнений с методами и способами решения интегральных уравнений. Также рассмотрены виды сплайнов и способы их построения.
На основе рассмотренных методов был выбран метод сплайнов и разработан способ решения. Таким образом, цели, поставленные в ВКР были достигнуты, задачи решены.
Перспективы. Дальнейшее развитие данной работы будет нацелена на разработку алгоритма программы и выполнение программной реализации.
