Многие научные и технические задачи приводят к необходимости приближения функций. Основная суть приближения функции: замена по заданному правилу одной функции другой, при этом достаточно близкой к заданной функции. Практическая необходимость приближения возникает в ситуациях, когда некоторую функцию нужно заменить простой и удобной для вычислений, восстановить функциональную зависимость по экспериментальным данным. Данные замены встречаются в различных сферах жизни, например при теплообмене, важной характеристикой является постоянная времени Т - величина, которая определяет регулярность процесса. Полезно для нахождения этой постоянной времени иметь простые приближенные формулы.
Целью исследования является получение приближений различных функций, ведь для различных формул или сложных функций иногда полезно иметь простые приближенные формулы, которые удобно использовать. Для достижения поставленных целей, необходимо решить такие задачи найти наилучшее приближение для элементарной функции, для понимания процессов, происходящих при приближении функций. А также перейти к более сложным задачам, например, приближение специальных функций. В качестве прикладного примера будем использовать процесс теплообмена тел с окружающей средой, получая при этом приближение для теплотехнических характеристик.
В современной математике, приближение функций находят в виде многочленов от независимых переменных. Нахождение таких многочленов трудоёмко, поэтому применяются различные численные методы. При этом сравнительно редко пользуются приближениями, являющимися дробно¬рациональными функциями от независимых переменных. Между тем дробно¬рациональные приближения иногда могут успешно заменять данную функцию в тех областях изменения аргумента, где разложение этой функции в степенной ряд расходится и где приближение в виде многочленов неприменимы. Существуют методы, позволяющие получать дробно-рациональное приближение функции, но требует сложных выкладок. Наиболее распространенным из таких методов является метод цепных дробей. Цепные дроби являются одним из аппаратов приближения функций. Они обладают замечательным свойством малого накопления погрешности при их вычислении.
Наиболее сложными для приближения являются специальные функции, которые представляются набором формул[1]: помимо того, что существует необозримое множество самих специальных функций, для каждой из них в настоящее время найдено много всевозможных дифференциальных уравнений, интегральных представлений, рекуррентных формул, теорем сложения и т. д.
В данной работе представлены дробно-рациональные приближения специальных функций. В работе была рассмотрена теория приближения, задача о наилучшем приближении, алгоритм Ремеза. Мы получили приближения различных функций, простые приближенные формулы, которые удобно использовать при расчетах. Для этого мы нашли наилучшее приближение для элементарной функции, а также перешли к более сложным задачам, приближению специальных функций. Для функций были сделаны приближения многочленами Тейлора, многочленами Чебышева, Паде-аппроксимация и др. Была сделана программа, вычисляющая коэффициенты многочлена наилучшего приближения по алгоритму Ремеза. Мы рассмотрели несколько функций, к которым применили разные приемы приближения, и подтвердили, что самую малую погрешность дают алгоритмы Ремеза.
Также в работе рассматривалась теория теплообмена, в частности рассматривался процесс теплообмена тел с окружающей средой. В этом процессе большое значение имеет постоянная времени, которая является решением нелинейного характеристического уравнения задачи теплопроводности. Были найдены простые дробно-рациональные формулы для постоянной времени, при применении которых, не нужно решать уравнение.
Несмотря на сложности, возникающие со специальными функциями , поставленная задача была решена.
